Unterkörperkriterium < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Verstehe irgendwie das Unterkörperkriterium nicht ganz.
Sei (R,+,*) ein Ring und [mm] \emptyset \not= [/mm] T [mm] \subseteq [/mm] R
Unterkörperkriterium: Ist R ein Körper so gilt:
T ist ein Unterkörper [mm] \gdw T\{0} \not= \emptyset \wedge \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] T [mm] \forall [/mm] t' [mm] \in [/mm] T [mm] \{0} [/mm] : ( t- -t' [mm] \in [/mm] T [mm] \wedge [/mm] t ( [mm] t')^{-1} \in [/mm] T)
So und wenn ich jetzt z.b.: einen Unterkörper von ( [mm] \IR,+,*) [/mm] angeben soll warum ist der beispielsweise ( [mm] \IQ,+,*) [/mm] ?
oder ({a + [mm] \wurzel{2} [/mm] b|a,b [mm] \in \IQ},+,*)
[/mm]
Wie setze ich in das Kriterium etwas ein dass ich beispielsweise dann auf rationale Zahlen komme? oder eben auf ({a + [mm] \wurzel{2} [/mm] b|a,b [mm] \in \IQ},+,*)?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Fr 21.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo
> Verstehe irgendwie das Unterkörperkriterium nicht ganz.
> Sei (R,+,*) ein Ring und [mm]\emptyset \not=[/mm] T [mm]\subseteq[/mm]
> R
> Unterkörperkriterium: Ist R ein Körper so gilt:
> T ist ein Unterkörper [mm]\gdw T\{0} \not= \emptyset \wedge \forall[/mm]
> t [mm]\in[/mm] T [mm]\forall[/mm] t' [mm]\in[/mm] T [mm]\{0}[/mm] : ( t- -t' [mm]\in[/mm] T [mm]\wedge[/mm]
> t ( [mm]t')^{-1} \in[/mm] T)
Anschaulich, geht es darum, dass ein Unterkörper eines Körpers ist eine Teilmenge, die ein Körper ist, wobei die Operationen vom Körper "induziert sind". Das heisst insbesondere, dass diese Teilmenge abgeschlossen ist unter den Operationen von +,-,*,^-1. Ausserdem ist zwingend, dass der Unterkörper die 1 enthalten muss (das vermisse ich irgendwie bei deiner Defintion).
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> So und wenn ich jetzt z.b.: einen Unterkörper von (
> [mm]\IR,+,*)[/mm] angeben soll warum ist der beispielsweise (
> [mm]\IQ,+,*)[/mm] ?
Die Addition und Multiplikation zweier rationalen Zahlen ist eine rationale Zahl. Und additives und multiplikatives Inverses einer rationalen Zahl ist rational, deshalb ist [mm] $\IQ$ [/mm] ein Unterkörper von [mm] $\IR$.
[/mm]
Es ist übrigens der kleinste Unterkörper in [mm] $\IR$, [/mm] d.h. jeder andere Unterkörper von [mm] $\IR$ [/mm] enthält mindestens [mm] $\IQ$ [/mm] als Teilmenge (sogar Teilkörper).
> oder [mm] ($\{a + \wurzel{2} b\ |\ a,b \in \IQ\},+,*)$
[/mm]
> Wie setze
> ich in das Kriterium etwas ein dass ich beispielsweise dann
> auf rationale Zahlen komme? oder eben auf
> [mm](\{a + \wurzel{2}[/mm] b|a,b [mm]\in \IQ\},+,*)?[/mm]
Hier musst du prüfen, dass diese Menge abgeschlossen ist unter Additon und Multiplikation.
D.h. für [mm] $a_1,b_1,a_2,b_2\ \in\IQ$ [/mm] musst du zeigen, dass [mm] $(a_1+b_1\sqrt2)+(a_2+b_2\sqrt2)$ [/mm] und [mm] $(a_1+b_1\sqrt2)\cdot(a_2+b_2\sqrt2)$ [/mm] wieder in der Menge sind.
Ausserdem muss du zeigen, dass [mm] $-(a_1+b_1\sqrt2)$ [/mm] und [mm] $(a_1+b_1\sqrt2)^{-1}$ [/mm] in der Menge sind.
mfG Moudi
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