Unterintegral < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 So 18.10.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe folgende Frage:
wenn ich Untersumme"=" U(Z*,f) zum Beispiel für eine äquidistante Zerlegung Z* bestimmt habe und danach den Wert von sup U(Z,f)
(Bemerkung: es muss also eine Zerlegung gefunden werden , wo U(Z,f)
den größten Wert annimt.) suche, warum reicht es beim Finden von sup U(Z,f) nur eine äquidistante Zerlegung [mm] Z_{n} [/mm] zu benutzen?
Wir sollten in der Übung sup U(Z,f) bestimmen , wobei wir eine äquidistante Zerlegung gewählt haben. Und dann habe ich mir die Frage gestellt, ob [mm] U(Z_{n},f) [/mm] = sup U(Z,f) .
EDIT 1: hier möchte ich noch die konkrete Aufgabenstellung posten :
Bestimmen Sie für f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] das untere und obere Integral und entscheiden Sie, ob f Riemann-integrierbar ist.
f(x)= [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x= \bruch{1}{2} \mbox{ } \\ 1, & \mbox{ } sonst \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
EDIT 2: f ist R-integrierbar [mm] \gdw [/mm] das Oberintegral gleich dem Unterintegral.
Ich habe jetzt im Skript gefunden, dass man z.B Unterintegral auf zwei
Weisen schreiben kann:
Unterintegral "=" sup U(Z,f) oder [mm] lim_{n}U(Z_{n}, [/mm] f).
Am Anfang habe ich nur über die erste Möglichkeit gedacht. Jedoch, wenn
man die zweite Möglichkeit benutzt , wird es mir klarer , warum man einfach die äquidistante Zerlegung wählt.
Stimmt das also, dass man bei der Aufgabe einfachheitshalber die zweite
Darstellung nehmen sollte ?
Danke und Gruss !
Igor
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Hallo igor,
wenn ich dich richtig verstehe, moechtest du wissen, warum es genuegt, aequidistante zerlegungen fuer die berechnung der untersumme zu verwenden.
Nun, nimm man, es wuerde NICHT genuegen. Dann gibt es eine NEDZ (non equidistant zerlegung) [mm] $Z^{+}$, [/mm] so dass [mm] $U(Z^+)>U(Z_n)$ [/mm] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$ [/mm] ist. Man kann aber jede NEDZ zu einer EDZ verfeinern (oder zumindest beliebig nahe approximieren), also auch $Z^+$ zu [mm] $Z^{+}_f$. [/mm] Der entscheidende punkt ist dann, dass die untersumme durch verfeinerung nicht kleiner werden kann. Es gilt also:
[math]U(Z^{+}_f)\ge U(Z^+)>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$
[/mm]
[mm] $Z^{+}_f$ [/mm] ist aber selbst eine EDZ, die letzte ungleichung ist also ein widerspruch.
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:32 Mo 19.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Matthias!
> wenn ich dich richtig verstehe, moechtest du wissen, warum
> es genuegt, aequidistante zerlegungen fuer die berechnung
> der untersumme zu verwenden.
>
> Nun, nimm man, es wuerde NICHT genuegen. Dann gibt es eine
> NEDZ (non equidistant zerlegung)
Das viele Englischsprechen macht sich schon bemerkbar, wie? 
> [mm]Z^{+}[/mm], so dass
> [mm]U(Z^+)>U(Z_n)[/mm] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm] ist. Man kann aber jede
> NEDZ zu einer EDZ verfeinern (oder zumindest beliebig nahe
> approximieren), also auch [mm]Z^+[/mm] zu [mm]Z^{+}_f[/mm].
Nur: wenn man eine NEDZ durch EDZ approximiert, konvergieren die Summen fuer die EDZ auch gegen die Summe der NEDZ? Das muesste ja gelten, ansonsten wuerde dein Ansatz nicht funktionieren.
Bei stetigen Funktionen ist das sicher der Fall, aber die sind auch Riemann-integrierbar, sprich es reicht irgendeine Folge von Zerlegungen, die beliebig fein werden, um das Unterintegral (und damit auch das Oberintegral zu bestimmen). (Was in der Aufgabe hier uebrigens der Fall ist.)
Bei nicht-stetigen Funktionen, die nicht Riemann-integrierbar sind, hab ich allerdings Zweifel; ich kann mir vorstellen dass man ein "Monster" konstruieren kann bei welchem dies schiefgeht. Allerdings fehlt es mir gerade an Ideen, wie man so etwas konstruieren koennte.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 19.10.2009 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi Felix!
> Hallo Matthias!
>
> > wenn ich dich richtig verstehe, moechtest du wissen, warum
> > es genuegt, aequidistante zerlegungen fuer die berechnung
> > der untersumme zu verwenden.
> >
> > Nun, nimm man, es wuerde NICHT genuegen. Dann gibt es eine
> > NEDZ (non equidistant zerlegung)
>
> Das viele Englischsprechen macht sich schon bemerkbar, wie?
>
eigentlich eher das fehlende 'ae' auf der tastatur...
>
> > [mm]Z^{+}[/mm], so dass
> > [mm]U(Z^+)>U(Z_n)[/mm] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm] ist. Man kann aber jede
> > NEDZ zu einer EDZ verfeinern (oder zumindest beliebig nahe
> > approximieren), also auch [mm]Z^+[/mm] zu [mm]Z^{+}_f[/mm].
>
> Nur: wenn man eine NEDZ durch EDZ approximiert,
> konvergieren die Summen fuer die EDZ auch gegen die Summe
> der NEDZ? Das muesste ja gelten, ansonsten wuerde dein
> Ansatz nicht funktionieren.
>
du hast recht, das muss man genauer argumentieren. Mir faellt im momentan weder ein besseres argument noch ein gegenbeispiel ein, muss wohl eine nacht drueber schlafen!
gruesse ueber den pazifik
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Matthias,
ich möchte wissen, ob es beim Bestimmen von Unterintegral ( oder Oberintegral)
eine äquidistante Zerlegung immer ( oder meistens) reicht , und ob man bei der
Aufgabe eher die Berechnungen auf die Darstellung von Unterintegral "=" [mm] lim_{n}U(Z_{n},f)
[/mm]
zurückführen soll ( oder eher auf die Darstellung Unterintegral "=" supU(Z,f)).
Nehmen wir jetzt an , dass ich die zweite Darstellung [mm] U(Z_{n} [/mm] (äquidistant), f) nehme und dann Frage ich mich , ob [mm] U(Z_{n} [/mm] (äquidistant), f) = supU(Z,f)). Z.B genau darüber habe ich mir Gedanken gemacht, als der Tutor die Methode der äquidistanten Zerlegung (MÄZ) vorgeschlagen hat.
Danach aber , also gestern spät Abends habe ich im Skript gesehen , dass
[mm] lim_{n} [/mm] U [mm] (Z_{n} [/mm] (äquidistant),f) "=" Unterintegral und supU(Z,f))"="Unterintegral .
Davor habe ich nur gedacht , dass man irgendwie supU(Z,f)) ausrechnen soll.
Jetzt scheint es so, dass man Unterintegral auch (oder nur ?) mit MÄZ per [mm] lim_{n} [/mm]
U [mm] (Z_{n} [/mm] (äquidistant),f) berechnen kann.
Ich meine, dass man supU(Z,f) nicht direkt mit MÄZ bestimmen kann, da wenn ich
eine solche äquidistante Zerlegung [mm] Z_{n} [/mm] nehme, heißt das nicht , dass man damit direkt
[mm] U(Z_{n},f) [/mm] = sup U(Z,f) folgern kann.
Danke und Gruss !
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Matthias,
ich möchte wissen, ob es beim Bestimmen von Unterintegral ( oder Oberintegral)
eine äquidistante Zerlegung immer ( oder meistens) reicht , und ob man bei der
Aufgabe eher die Berechnungen auf die Darstellung von Unterintegral "=" [mm] lim_{n}U(Z_{n},f)
[/mm]
zurückführen soll ( oder eher auf die Darstellung Unterintegral "=" supU(Z,f)).
Nehmen wir jetzt an , dass ich die erste Darstellung [mm] U(Z_{n} [/mm] (äquidistant), f) nehme und dann frage ich mich , ob [mm] lim_{n} U(Z_{n} [/mm] (äquidistant), f) = supU(Z,f)). Z.B genau darüber habe ich mir Gedanken gemacht, als der Tutor die Methode der äquidistanten Zerlegung (MÄZ) vorgeschlagen hat.
Danach aber , also gestern spät Abends habe ich im Skript gesehen , dass
[mm] lim_{n} [/mm] U [mm] (Z_{n} [/mm] (äquidistant),f) "=" Unterintegral und supU(Z,f))"="Unterintegral .
Davor habe ich nur gedacht , dass man irgendwie supU(Z,f)) ausrechnen soll.
Jetzt scheint es so, dass man Unterintegral auch (oder nur ?) mit MÄZ per [mm] lim_{n} [/mm]
U [mm] (Z_{n} [/mm] (äquidistant),f) berechnen kann.
Ich meine, dass man supU(Z,f) nicht direkt mit MÄZ bestimmen kann, da wenn ich
eine solche äquidistante Zerlegung [mm] Z_{n} [/mm] nehme, heißt das nicht , dass man damit direkt
[mm] U(Z_{n},f) [/mm] = sup U(Z,f) folgern kann.
Stimmt das ?
Danke und Gruss !
Igor
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Hi Igor,
> Hallo Matthias,
>
> ich möchte wissen, ob es beim Bestimmen von Unterintegral
> ( oder Oberintegral)
> eine äquidistante Zerlegung immer ( oder meistens) reicht
> , und ob man bei der
> Aufgabe eher die Berechnungen auf die Darstellung von
> Unterintegral "=" [mm]lim_{n}U(Z_{n},f)[/mm]
> zurückführen soll ( oder eher auf die Darstellung
> Unterintegral "=" supU(Z,f)).
>
OK, lass uns versuchen zu zeigen, dass [mm] $\lim_{n}U(Z_{n},f) [/mm] = [mm] \sup [/mm] U(Z,f))$. Dies ist, denke ich, aequivalent zu [mm] $\sup_{n}U(Z_{n},f) [/mm] = [mm] \sup [/mm] U(Z,f))$, da [mm] $U(Z_{n},f)$ [/mm] kein isoliertes supremum haben kann (die folge der untersummen ist prinzipiell monoton steigend). Nun ist die menge EDZ eine teilmenge aller zerlegungen, also gilt [mm] $\sup_{n}U(Z_{n},f) \le \sup [/mm] U(Z,f))$.
Ich versuche jetzt mal, das argument aus meinem ersten post stichhaltig zu machen und einen widerspruchs-beweis zu fuehren. Nimm also an, dass [mm] $\sup_{n}U(Z_{n},f) [/mm] < [mm] \sup [/mm] U(Z,f))$. Dann gibt es eine NEDZ $Z^+$, so dass
[math] U(Z^+)>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$
[/mm]
wir approximieren jetzt $Z^+$ und die zugehoerige untersumme durch eine folge $Z^+_h$ von EDZ mit schrittweite $h$ und geeigneten treppenfunktionen. Die Zerlegung $Z^+$ bestehe aus intervallen [mm] $I_i$, [/mm] die zerlegungen $Z^+_h$ aus aequidistanten intervallen [mm] $J_{h,j}$. [/mm] Die zu $Z^+_h$ gehoerigen unteren treppenfunktionen werden nun intervallweise so definiert: falls ein [mm] $J_{h,j}$ [/mm] komplett in einem [mm] $I_i$ [/mm] liegt, so "erbt" es den funktionswert von [mm] $I_i$. [/mm] Liegt [mm] $J_{h,j}$ [/mm] auf der grenze zwischen zwei intervallen [mm] $I_i$ [/mm] und [mm] $I_k$, [/mm] so weisen wir ihm den kleineren der beiden funktionswerte zu. Die anzahl dieser "grenzintervalle" in $Z^+_h$ ist aber beschraenkt durch die anzahl der stuetzstellen von $Z^+$, und dass egal wie klein wir $h$ waehlen. Das ist sehr wichtig! Die integrale [mm] $S_h$ [/mm] der so definierten unteren treppenfunktionen mit aequidistanten stuetzstellen konvergiert also gegen $U(Z^+)$!. Waehle nun ein genuegend kleines [mm] $h_0$, [/mm] dann ist
[math] S_{h_0}>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$
[/mm]
Geht man nun auf der EDZ [mm] $Z^+_{h_0}$ [/mm] zur eigentlichen untersumme ueber, so entspricht das einer verfeinerung, die untersumme muss also mindestens so gross sein wie [mm] $S_{h_0}$. [/mm] also ist
[math] U(Z^+_{h_0})\ge S_{h_0}>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$
[/mm]
Das ist ein widerspruch. Die suprema oben muessen also gleich sein.
Ich hoffe, dass die idee des beweises einigermassen klar geworden ist, eine skizze hilft da bestimmt. Die grundidee ist die gleiche wie in meinem urspruenglichen post, nur habe ich hier versucht, sie etwas zu formalisieren...
Vorausgesetzt der beweis oben ist korrekt, ist es also hinreichend, untersummen ueber EDZen zu berechnen.
gruss
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Di 20.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Matthias!
> OK, lass uns versuchen zu zeigen, dass [mm]\lim_{n}U(Z_{n},f) = \sup U(Z,f))[/mm].
> Dies ist, denke ich, aequivalent zu [mm]\sup_{n}U(Z_{n},f) = \sup U(Z,f))[/mm],
> da [mm]U(Z_{n},f)[/mm] kein isoliertes supremum haben kann (die
> folge der untersummen ist prinzipiell monoton steigend).
Hmm; ich frage mich gerade, ob der Limes ueberhaupt existieren muss. Wenn man aber [mm] $\limsup$ [/mm] nimmt, ist's das gleiche wie das Supremum.
> Nun ist die menge EDZ eine teilmenge aller zerlegungen,
> also gilt [mm]\sup_{n}U(Z_{n},f) \le \sup U(Z,f))[/mm].
>
> Ich versuche jetzt mal, das argument aus meinem ersten post
> stichhaltig zu machen und einen widerspruchs-beweis zu
> fuehren. Nimm also an, dass [mm]\sup_{n}U(Z_{n},f) < \sup U(Z,f))[/mm].
> Dann gibt es eine NEDZ [mm]Z^+[/mm], so dass
>
> [math]U(Z^+)>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm]
Wie waer's mit: sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit $U(Z^+) [mm] \ge \varepsilon [/mm] + [mm] U(Z_n)$ [/mm] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$.
[/mm]
> wir approximieren jetzt [mm]Z^+[/mm] und die zugehoerige untersumme
> durch eine folge [mm]Z^+_h[/mm] von EDZ mit schrittweite [mm]h[/mm] und
> geeigneten treppenfunktionen. Die Zerlegung [mm]Z^+[/mm] bestehe aus
> intervallen [mm]I_i[/mm], die zerlegungen [mm]Z^+_h[/mm] aus aequidistanten
> intervallen [mm]J_{h,j}[/mm]. Die zu [mm]Z^+_h[/mm] gehoerigen unteren
> treppenfunktionen werden nun intervallweise so definiert:
> falls ein [mm]J_{h,j}[/mm] komplett in einem [mm]I_i[/mm] liegt, so "erbt" es
> den funktionswert von [mm]I_i[/mm]. Liegt [mm]J_{h,j}[/mm] auf der grenze
> zwischen zwei intervallen [mm]I_i[/mm] und [mm]I_k[/mm], so weisen wir ihm
> den kleineren der beiden funktionswerte zu. Die anzahl
> dieser "grenzintervalle" in [mm]Z^+_h[/mm] ist aber beschraenkt
> durch die anzahl der stuetzstellen von [mm]Z^+[/mm], und dass egal
> wie klein wir [mm]h[/mm] waehlen. Das ist sehr wichtig! Die
> integrale [mm]S_h[/mm] der so definierten unteren treppenfunktionen
> mit aequidistanten stuetzstellen konvergiert also gegen
> [mm]U(Z^+)[/mm]!.
Ja.
> Waehle nun ein genuegend kleines [mm]h_0[/mm], dann ist
>
> [math]S_{h_0}>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm]
Das bekommst du nicht hin, wenn du nicht das [mm] $\varepsilon$ [/mm] Abstand forderst.
Wenn du allerdings von oben das [mm] $\varepsilon$ [/mm] hast, kannst du [mm] $h_0$ [/mm] klein genug waehlen, damit [mm] $S_{h_0} \ge [/mm] U(Z^+) - [mm] \varepsilon/2 \ge \varepsilon/2 [/mm] + [mm] U(Z_n)$ [/mm] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$ [/mm] ist, und somit auch [mm] $S_{h_0} [/mm] > [mm] U(Z_n)$ [/mm] fuer alle EDZ [mm] $Z_n$.
[/mm]
> Geht man nun auf der EDZ [mm]Z^+_{h_0}[/mm] zur eigentlichen
> untersumme ueber, so entspricht das einer verfeinerung, die
> untersumme muss also mindestens so gross sein wie [mm]S_{h_0}[/mm].
> also ist
>
> [math]U(Z^+_{h_0})\ge S_{h_0}>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm]
>
> Das ist ein widerspruch. Die suprema oben muessen also
> gleich sein.
Ja. Jetzt bin ich auch ueberzeugt :)
> Vorausgesetzt der beweis oben ist korrekt, ist es also
> hinreichend, untersummen ueber EDZen zu berechnen.
Ich denke schon. Nur halt bin ich mir nicht sicher, ob man einfach den Limes nehmen kann, oder man i.A. den [mm] $\limsup$ [/mm] nehmen muss.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Di 20.10.2009 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> Hallo Matthias!
>
> > OK, lass uns versuchen zu zeigen, dass [mm]\lim_{n}U(Z_{n},f) = \sup U(Z,f))[/mm].
> > Dies ist, denke ich, aequivalent zu [mm]\sup_{n}U(Z_{n},f) = \sup U(Z,f))[/mm],
> > da [mm]U(Z_{n},f)[/mm] kein isoliertes supremum haben kann (die
> > folge der untersummen ist prinzipiell monoton steigend).
>
> Hmm; ich frage mich gerade, ob der Limes ueberhaupt
> existieren muss. Wenn man aber [mm]\limsup[/mm] nimmt, ist's das
> gleiche wie das Supremum.
>
> > Nun ist die menge EDZ eine teilmenge aller zerlegungen,
> > also gilt [mm]\sup_{n}U(Z_{n},f) \le \sup U(Z,f))[/mm].
> >
> > Ich versuche jetzt mal, das argument aus meinem ersten post
> > stichhaltig zu machen und einen widerspruchs-beweis zu
> > fuehren. Nimm also an, dass [mm]\sup_{n}U(Z_{n},f) < \sup U(Z,f))[/mm].
> > Dann gibt es eine NEDZ [mm]Z^+[/mm], so dass
> >
> > [math]U(Z^+)>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm]
>
> Wie waer's mit: sei [mm]\varepsilon > 0[/mm] mit [mm]U(Z^+) \ge \varepsilon + U(Z_n)[/mm]
> fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm].
>
> > wir approximieren jetzt [mm]Z^+[/mm] und die zugehoerige untersumme
> > durch eine folge [mm]Z^+_h[/mm] von EDZ mit schrittweite [mm]h[/mm] und
> > geeigneten treppenfunktionen. Die Zerlegung [mm]Z^+[/mm] bestehe aus
> > intervallen [mm]I_i[/mm], die zerlegungen [mm]Z^+_h[/mm] aus aequidistanten
> > intervallen [mm]J_{h,j}[/mm]. Die zu [mm]Z^+_h[/mm] gehoerigen unteren
> > treppenfunktionen werden nun intervallweise so definiert:
> > falls ein [mm]J_{h,j}[/mm] komplett in einem [mm]I_i[/mm] liegt, so "erbt" es
> > den funktionswert von [mm]I_i[/mm]. Liegt [mm]J_{h,j}[/mm] auf der grenze
> > zwischen zwei intervallen [mm]I_i[/mm] und [mm]I_k[/mm], so weisen wir ihm
> > den kleineren der beiden funktionswerte zu. Die anzahl
> > dieser "grenzintervalle" in [mm]Z^+_h[/mm] ist aber beschraenkt
> > durch die anzahl der stuetzstellen von [mm]Z^+[/mm], und dass egal
> > wie klein wir [mm]h[/mm] waehlen. Das ist sehr wichtig! Die
> > integrale [mm]S_h[/mm] der so definierten unteren treppenfunktionen
> > mit aequidistanten stuetzstellen konvergiert also gegen
> > [mm]U(Z^+)[/mm]!.
>
> Ja.
>
> > Waehle nun ein genuegend kleines [mm]h_0[/mm], dann ist
> >
> > [math]S_{h_0}>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm]
>
> Das bekommst du nicht hin, wenn du nicht das [mm]\varepsilon[/mm]
> Abstand forderst.
>
> Wenn du allerdings von oben das [mm]\varepsilon[/mm] hast, kannst du
> [mm]h_0[/mm] klein genug waehlen, damit [mm]S_{h_0} \ge U(Z^+) - \varepsilon/2 \ge \varepsilon/2 + U(Z_n)[/mm]
> fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm] ist, und somit auch [mm]S_{h_0} > U(Z_n)[/mm] fuer
> alle EDZ [mm]Z_n[/mm].
>
> > Geht man nun auf der EDZ [mm]Z^+_{h_0}[/mm] zur eigentlichen
> > untersumme ueber, so entspricht das einer verfeinerung, die
> > untersumme muss also mindestens so gross sein wie [mm]S_{h_0}[/mm].
> > also ist
> >
> > [math]U(Z^+_{h_0})\ge S_{h_0}>U(Z_n)[/math] fuer alle EDZ [mm]Z_n[/mm]
> >
> > Das ist ein widerspruch. Die suprema oben muessen also
> > gleich sein.
>
> Ja. Jetzt bin ich auch ueberzeugt :)
>
> > Vorausgesetzt der beweis oben ist korrekt, ist es also
> > hinreichend, untersummen ueber EDZen zu berechnen.
>
> Ich denke schon. Nur halt bin ich mir nicht sicher, ob man
> einfach den Limes nehmen kann, oder man i.A. den [mm]\limsup[/mm]
> nehmen muss.
darueber hatte ich mir jetzt keine gedanken gemacht, da es in Igor's skript so zu stehen scheint.
gruss
Matthias
>
> LG Felix
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