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Hallo,
Es seien (A, [mm] \circ) [/mm] eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und x [mm] \in [/mm] A ein festes Element. Zeigen Sie:
Ist k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x^{k} [/mm] = e die Ordnung von x, so gilt:
B = [mm] \{x, x^{2}, ..., x^{k}\} [/mm] ist eine Untergruppe von A, die abelsch ist und k Elemente besitzt.
Den Beweis dazu haben wir in der Übung gemacht. Habe zu meinem Mitschrieb allerdings noch einige Fragen:
Dass B eine Untergruppe von A ist haben wir mit dem Untergruppenkriterium gezeigt. Dabei muss man ja auch zeigen, dass es zu jedem Element in B ein Inverses gibt. Wir haben das so gemacht:
Für alle a, b [mm] \in [/mm] B: a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] B und [mm] b^{-1} \in [/mm] B.
[mm] \exists [/mm] n, m [mm] \in \IN: [/mm] a = [mm] x^{n} [/mm] und b = [mm] x^{m} [/mm] und m [mm] \le [/mm] k und n [mm] \le [/mm] k.
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b = [mm] x^{n} \circ x^{m} [/mm] = [mm] x^{n+m} [/mm] = [mm] x^{l} [/mm] für l [mm] \le [/mm] k, l [mm] \in \IN
[/mm]
Frage 1: Wieso ist n+m [mm] \le [/mm] k? Wird das einfach durch l [mm] \le [/mm] k vorausgesetzt?
Wir haben dann gefolgert:
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] B
Frage 2: Wieso ist dann a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] B?
[mm] \Rightarrow x^{k-m} \circ x^{m} [/mm] = [mm] x^{k} [/mm] = e
Frage 3: Muss das nicht:
[mm] \Rightarrow x^{k-m} \circ x^{n} [/mm] = [mm] x^{k} [/mm] = e
lauten? Sonst macht das für mich keinen Sinn. Wobei - [mm] x^{n} [/mm] wohl noch weniger Sinn machen würde, da ich dann m+n = l voraussetzen würde. Aber wieso hat sich der Übungsleiter für den "Weg" mit m und nicht mit n entschieden? Könnte man das nicht auch so schreiben:
[mm] \Rightarrow x^{k-n} \circ x^{n} [/mm] = [mm] x^{k} [/mm] = e
?
Nun gehts weiter:
[mm] \Rightarrow x^{k-m} [/mm] ist Inverses von [mm] x^{m}, [/mm] außerdem ist [mm] b^{-1} [/mm] = [mm] x^{k-m} \in [/mm] B.
Frage 4: Wieso? Da wurde doch mit [mm] (x^{m})^{-1} [/mm] verknpüft, sodass [mm] x^{m} [/mm] "wegfällt" - oder?
Danke :)
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Hallo,
zu Frage 1&2: Auf mich wirkt es so, als würden sich deine Fragen 1 und 2 noch gar nicht auf die Existenz der Inversen beziehen, sondern zunächst nur auf die Abgeschlossenheit bezüglich dieser inneren Verknüpfung " [mm] \circ [/mm] ".
Du willst also zeigen, dass für zwei beliebige Elemente [mm] a=x^{n}, b=x^{m} [/mm] (wobei m,n natürliche Zahlen kleiner gleich k) aus B gilt: a [mm] \circ [/mm] b = [mm] x^{n} \circ x^{m} [/mm] = [mm] x^{n+m} \in [/mm] B.
Zunächst ist n+m [mm] \in \IN. [/mm] Ist n+m [mm] \le [/mm] k, so ist a [mm] \circ [/mm] b offensichtlich in B.
Ist n+m>k, etwa n+m=k+l (l natürliche Zahl größer 0), dann ist ja [mm] x^{n+m} [/mm] = [mm] x^{k+l} [/mm] = [mm] x^{k} \circ x^{l} [/mm] = e [mm] \circ x^{l} [/mm] = [mm] x^{l}. [/mm] (Sollte l immernoch größer k sein, dann spaltest du es analog auf, bis du ein [mm] x^{l'} [/mm] erhälst mit l' natürlich und größer 0 und kleiner gleich k. [mm] x^{l'} [/mm] ist dann in B).
Hier erkennst du also vielleicht schon einen Denkfehler von dir: n+m ist nicht unbedingt gleich l, sondern gleich l modulo k, d.h. l plus ein Vielfaches von k.
Zu Frage 3&4: Hier geht's - wie mir scheint - erstmals um die Inverse. Du willst zeigen, dass zu einem beliebigen Element b = [mm] x^{m} [/mm] aus B ein Inverses existiert, das ebenfalls in B liegt. Du sagst daher zurecht, dass [mm] x^{n} [/mm] weniger Sinn macht, denn: [mm] x^{k-m} \circ x^{n} [/mm] = [mm] x^{k-m+n}. [/mm] Damit kann man nichts anfangen bzw. nachweisen.
Aber mit [mm] x^{m} [/mm] sähe es dann so aus: [mm] x^{k-m} \circ x^{m} [/mm] = [mm] x^{k-m+m} [/mm] = [mm] x^{k} [/mm] = e, d.h., [mm] x^{k-m} [/mm] ist invers zu [mm] x^{m}. [/mm] Und weil k-m [mm] \le [/mm] k und natürlich, liegt dieses Element in B. Dieses [mm] x^{k-m} [/mm] kannst du auch also auch als [mm] (x^{m})^{-1} [/mm] schreiben oder auch als [mm] b^{-1}.
[/mm]
Aber wie du selbst sagst: Du hättest die Existenz der Inversen auch analog für a [mm] \in [/mm] B, also den ganzen Kram mit 'n' statt 'm' zeigen können (so wie du's auch in deinem Posting geschrieben hast).
Ich hoffe, die Antwort konnte dir ein bisschen helfen.
Bei weiteren Fragen frag' einfach nochmal nach, k?
freundliche Grüße zurück..
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