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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die folgende Teilmenge U eine Untergruppe der gegebenen Gruppe G ist:
G = [mm] (\IZ,+) \times (\IQ,\*), [/mm] U = [mm] \{(a,b) \in G | b = 2^{a} \} [/mm] |
Hallo erstmal,
ich studiere Mathematik im 1. Semester und obige Aufgabe steht auf dem Übungsblatt, welches ich abgeben muss.
Meine bisherigen Überlegungen:
Ist U = [mm] \emptyset [/mm] ?
Nein, da zB mit 0 [mm] \in (\IZ,+) [/mm] und 1 [mm] \in (\IQ,\*) [/mm] das Tupel (0,1) (1 = [mm] 2^{0}) [/mm] enthalten ist.
Ist U wohldefiniert?
Und hier fängt es schon an: Was ist die Verknüpfung von U?
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Überprüfen Sie, ob die folgende Teilmenge U eine
> Untergruppe der gegebenen Gruppe G ist:
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> G = [mm](\IZ,+) \times (\IQ,\*),[/mm] U = [mm]\{(a,b) \in G | b = 2^{a} \}[/mm]
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> Hallo erstmal,
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> ich studiere Mathematik im 1. Semester und obige Aufgabe
> steht auf dem Übungsblatt, welches ich abgeben muss.
>
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> Meine bisherigen Überlegungen:
>
> Ist U = [mm]\emptyset[/mm] ?
> Nein, da zB mit 0 [mm]\in (\IZ,+)[/mm] und 1 [mm]\in (\IQ,\*)[/mm] das Tupel
> (0,1) in (1 = [mm]2^{0})[/mm] enthalten ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist U wohldefiniert?
Eine Gruppe kann nicht wohldefiniert sein. Hast due Aufgabenstellung richtig abgeschrieben? Eine Relation kann nur wohl definiert sein.
Du hast das andere Untergruppenaxiom zu zeigen
(U2) [mm]a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U[/mm].
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> Und hier fängt es schon an: Was ist die Verknüpfung von
> U?
Versuch dir erst einmal klar zu machen was überhaupt [mm](\IZ,+) \times (\IQ,\*),[/mm] ist. Das ist auch ein geordnetes Paar (a,b) mit [mm]a\in (\IZ,+),b\in (\IQ,* )[/mm]. Was kann man damit anstellen?
reines probieren:
Nehmen wir mal das Paar (2,4) das liegt in U, da [mm]4=2^2[/mm]. Und das Paar (3,8) ebenfalls [mm]8=2^3[/mm]. Zu zeigen ist, dass u.a. [mm](2,4)\circ (3,8)\in U[/mm] liegt. Nach ein bisschen probieren kommt man darauf, dass [mm]4*8=2^{2+3}[/mm] gelten sollte. Also:
[mm](a,b)\circ (c,d) = (a+c,b*d)[/mm]
reines überlegen:
Die erste Komponente gehört zu [mm](\IZ,+)[/mm] Da darf nur addiert werden. Die zweite liegt in einer multiplikativen Gruppe. Hier wird multipliziert. Also [mm] stimmt:[center]$(a,b)\circ [/mm] (c,d) = (a+c,b*d)$[/center]______________________________________
Jetzt kannst du (U2) zeigen.
Was du mit Wohldefiniertheit meinst, ist die Wohldefiniertheit der Verknüpfung (Relation)[mm](a,b)\circ (c,d) = (a+c,b*d)[/mm]Anders formuliert musst du die Repräsentantenunabhängigkeit zeigen, d.h. mit
[mm](a,b)=(a',b'),(c,d)=(c',d')[/mm] alle vier in U in U; musst du zeigen es gilt :[mm](a+c,b*d)=(a'+c',b'*d')[/mm]
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Hallo wieschoo,
vielen Dank für deine Antwort, hast es super erklärt.
Lag eigentlich auf der Hand, aber wohlmöglich stand ich gerade auf dem Schlauch.
Ich muss noch korrigieren:
Bei der Gruppe G ist die 0 nicht in [mm] \IQ [/mm] enthalten. WIe schreibt man das im Editor?
> Eine Gruppe kann nicht wohldefiniert sein. Hast due
> Aufgabenstellung richtig abgeschrieben? Eine Relation kann
> nur wohl definiert sein.
>
Klar, meinte natürlich die Abgeschlossenheit, also ob [mm](a,b)\circ(c,d) \in U [/mm]. Und das hab ich folgendermaßen gemacht:
[mm] (a,b),(c,d)\in [/mm] U. Z.z.: [mm] (a,b)\circ(c,d) \in [/mm] U
[mm](a,b)\circ(c,d) = (a+c,b*d)[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Da mit [mm]a,c \in U \Rightarrow a+c \in U[/mm]
und mit [mm]b,d \in U \Rightarrow b*d \in U[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](a,b)\circ(c,d) \in U[/mm]
Assoziativität:
Seien [mm](a,b),(c,d),(e,f) \in U[/mm]
[mm](a,b)\circ[(c,d)\circ(e,f)]=(a,b)\circ(c+e,d*f)=(a+(c+e),b*(d*f))=((a+c)+e,(b*d)*f)=(a+c,b*d)\circ(e,f)=[(a,b)\circ(c,d)]\circ(e,f)[/mm]
Neutrales Element
Sei [mm](a,b)\in U[/mm]
Das neutrale Element der (Unter)gruppe U ist (0,1), da:
[mm](a,b)\circ(0,1)=(a+0,b*1)=(a,b)[/mm]
Inverses Element
Das zu [mm](a,b)\in U[/mm] inverse Element lautet [mm](-a,\bruch{1}{b})\in U[/mm], da:
[mm](a,b)\circ(-a,\bruch{1}{b})=(a+(-a),b*\bruch{1}{b})=(0,1)[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist Untergruppe von G
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 19.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Sieht nicht schlecht aus.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Da mit $ a,c [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a+c [mm] \in [/mm] U $
und mit $ b,d [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow b\cdot{}d \in [/mm] U $
Hier meintest du wohl eher
$ a,c [mm] \in (\IZ,+) \Rightarrow [/mm] a+c [mm] \in (\IZ,+) [/mm] $
und ebenfalls für Multiplikation.
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> Sieht nicht schlecht aus.
>
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Da mit [mm]a,c \in U \Rightarrow a+c \in U[/mm]
> und
> mit [mm]b,d \in U \Rightarrow b\cdot{}d \in U[/mm]
> Hier meintest du
> wohl eher
>
> [mm]a,c \in (\IZ,+) \Rightarrow a+c \in (\IZ,+)[/mm]
> und ebenfalls
> für Multiplikation.
>
Ja genau.
OK wieschoo, danke nochmal.
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