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| Aufgabe | | Sei A eine dreielementige Menge und betrachte die Gruppe P(A) (Potenzmenge) mit der symmetrischen Mengendifferenz als addition. Wieviele Untergruppen besitzt P(A)? |
Ich hab mir jetzt mal A={a,b,c} gewählt.
Dann ist [mm] P(A)=\left\{ a,b,c,(a,b),(b,c)(a,c),(a,b,c),\emptyset\right\}
[/mm]
und wenn man darauf die symmetrische Mengendifferenz anwendet, lautet das doch zum Beispiel für a und b:
[mm] (a\setminus b)\vee(b\setminus a)\.
[/mm]
Muss man diese Mengendifferenz jetzt für jede Elemente von P(A) angeben, und wenn ja, kann man sie noch genauer angeben? Denn [mm] (a\setminus b)\vee(b\setminus [/mm] a)\ kann ja die leere Menge sein, aber auch eine Zahl, wenn a und b aus wiederum mehreren Elementen bestehen.
Eine Untergruppe muss ja zwei Dinge erfüllen:
1. Sie muss Teilmenge der Gruppe sein und
2. sie muss die Eigenschaften einer Gruppe erfüllen, und zwar die von P(A). Hier wäre das neutrale Element doch die leere Menge und das inverse einfach die negative symm. Mengendifferenz, oder?
Kann man dann als Anzahl der Untergruppen einfach die Anzahl der Elemente der Potenzmenge der Potenzmenge angeben?
Auf Hilfestellungen würde ich mich freuen =)
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> Sei A eine dreielementige Menge und betrachte die Gruppe
> P(A) (Potenzmenge) mit der symmetrischen Mengendifferenz
> als addition. Wieviele Untergruppen besitzt P(A)?
> Ich hab mir jetzt mal A={a,b,c} gewählt.
mit a,b,c paarweise verschieden.
>
> Dann ist [mm]P(A)=\left\{ a,b,c,(a,b),(b,c)(a,c),(a,b,c),\emptyset\right\}[/mm]
Hallo,
nein. Es ist
[mm] P(A)=\left\{ \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c)\},\{a,c\},\{a,b,c\},\emptyset\right\}.
[/mm]
>
> und wenn man darauf die symmetrische Mengendifferenz
> anwendet, lautet das doch zum Beispiel für a und b:
>
> [mm](a\setminus b)\vee(b\setminus a)\.[/mm]
> Muss man diese
> Mengendifferenz jetzt für jede Elemente von P(A) angeben,
Stelle eine Verknüpfungstafel auf.
> und wenn ja, kann man sie noch genauer angeben? Denn
> [mm](a\setminus b)\vee(b\setminus[/mm] a)\ kann ja die leere Menge
> sein, aber auch eine Zahl, wenn a und b aus wiederum
> mehreren Elementen bestehen.
????
[mm] \{a\}\delta \{b\}=(\{a\}\setminus \{b\})\cup(\{b\}\setminus \{a\})=\{a,b\}
[/mm]
>
> Eine Untergruppe muss ja zwei Dinge erfüllen:
> 1. Sie muss Teilmenge der Gruppe sein und
> 2. sie muss die Eigenschaften einer Gruppe erfüllen, und
> zwar die von P(A). Hier wäre das neutrale Element doch die
> leere Menge und das inverse einfach die negative symm.
> Mengendifferenz, oder?
>
> Kann man dann als Anzahl der Untergruppen einfach die
> Anzahl der Elemente der Potenzmenge der Potenzmenge
> angeben?
????
Als Anzahl der Untergruppen mußt Du die Anzahl der Untergruppen angeben.
Such die Untergruppen und zähle sie.
Im Idealfall weißt Du, wieviele Elemente die Untergruppen haben können. Das erleichtert die Suche.
LG Angela
>
> Auf Hilfestellungen würde ich mich freuen =)
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> > Sei A eine dreielementige Menge und betrachte die Gruppe
> > P(A) (Potenzmenge) mit der symmetrischen
> Mengendifferenz
> > als addition. Wieviele Untergruppen besitzt P(A)?
> > Ich hab mir jetzt mal A={a,b,c} gewählt.
> mit a,b,c paarweise verschieden.
> >
> > Dann ist [mm]P(A)=\left\{ a,b,c,(a,b),(b,c)(a,c),(a,b,c),\emptyset\right\}[/mm]
>
> Hallo,
>
> nein. Es ist
> [mm]P(A)=\left\{ \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c)\},\{a,c\},\{a,b,c\},\emptyset\right\}.[/mm]
>
stimmt.
> >
> > und wenn man darauf die symmetrische Mengendifferenz
> > anwendet, lautet das doch zum Beispiel für a und b:
> >
> > [mm](a\setminus b)\vee(b\setminus a)\.[/mm]
> > Muss man diese
> > Mengendifferenz jetzt für jede Elemente von P(A)
> angeben,
>
> Stelle eine Verknüpfungstafel auf.
>
> > und wenn ja, kann man sie noch genauer angeben? Denn
> > [mm](a\setminus b)\vee(b\setminus[/mm] a)\ kann ja die leere
> Menge
> > sein, aber auch eine Zahl, wenn a und b aus wiederum
> > mehreren Elementen bestehen.
>
> ????
>
> [mm]\{a\}\delta \{b\}=(\{a\}\setminus \{b\})\cup(\{b\}\setminus \{a\})=\emptyset.[/mm]
>
Wieso? wenn man sich das aufmalt, und a und b sich schneiden, dann muss dabei doch nicht die leere Menge rauskommen?! Und wenn a und b disjunkt sind, kommt doch sogar [mm] \left\{ a \right\} \cup \left\{ b\right\} [/mm] heraus, oder?
> >
> > Eine Untergruppe muss ja zwei Dinge erfüllen:
> > 1. Sie muss Teilmenge der Gruppe sein und
> > 2. sie muss die Eigenschaften einer Gruppe erfüllen,
> und
> > zwar die von P(A). Hier wäre das neutrale Element doch
> die
> > leere Menge und das inverse einfach die negative symm.
> > Mengendifferenz, oder?
> >
> > Kann man dann als Anzahl der Untergruppen einfach die
> > Anzahl der Elemente der Potenzmenge der Potenzmenge
> > angeben?
>
> ????
>
> Als Anzahl der Untergruppen mußt Du die Anzahl der
> Untergruppen angeben.
>
> Such die Untergruppen und zähle sie.
> Im Idealfall weißt Du, wieviele Elemente die Untergruppen
> haben können. Das erleichtert die Suche.
Leider komme ich nicht weiter. Was ich jetzt gemacht habe, ist zum Beispiel für die zwei Elemente [mm] \left\{ a,b,c \right\} [/mm] und [mm] \left\{ a,b \right\} [/mm]
[mm] (\left\{ a,b,c \right\} \setminus \left\{ a,b \right\})\cup (\left\{ a,b\right\} \setminus \left\{ a,b,c \right\}) [/mm] = [mm] \left\{c \right\} [/mm]
Letzteres befindet sich ja wieder in meiner Potenzmenge, somit könnten die zwei ausgewählten Elemente eine Untergruppe von P(A) darstellen, oder? Die sym. Mengendifferenz auf die Mengen selber angewandt, ergibt ja immer die leere Menge und die sym Mengendiff. der Mengen mit der leeren Menge, ergibt immer die Menge selbst. Beide Fälle liegen wieder in der Potenzmenge drin, also ist schon mal jedes Element selber Untergruppe von P(A) und jede Verknüpfung von einem Element mit der leeren Menge. (Hab das Inverse noch nicht beachtet! ) Stimmt das bis dahin so?
Und wie finde ich heraus, was die Inversen der Elemente sind und ob sie wieder in der Untergruppe liegen?
>
> LG Angela
> >
> > Auf Hilfestellungen würde ich mich freuen =)
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> > [mm]\{a\}\delta \{b\}=(\{a\}\setminus \{b\})\cup(\{b\}\setminus \{a\})=\emptyset.[/mm]
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> >
> Wieso?
Hallo,
wegen gar nichts. Das ist natürlich völliger Quatsch, und es muß heißen
[mm] \{a\}\Delta \{b\}=(\{a\}\setminus \{b\})\cup(\{b\}\setminus \{a\})= \{a,b}
[/mm]
Tut mir leid, daß ich für Verirrung gesorgt habe.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 19.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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