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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit Untergruppen [mm] H_1,H_2 \subset [/mm] G.
Man zeige, dass [mm] H_1 \cup H_2 [/mm] genau dann eine Untergruppe von G ist wenn [mm] H_1 \subset H_2 [/mm] oder [mm] H_2 \subset H_1 [/mm] |
Ich wollte einfach nur fragen ob meine Gedanken so passen:
[mm] \Rightarrow:
[/mm]
Das 1-Element liegt auf jeden Fall in [mm] H_1 \cup H_2, [/mm] da [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] bereits Untergruppen sind und somit beide das 1_Element aus G auch enthalten.
Nehme man nun an [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] würden nicht ineinander liegen
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] a [mm] \in H_1, a\not\in H_2 [/mm] und b [mm] \in H_2 [/mm] , b [mm] \not\in H_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \not\in H_1 [/mm] und ab [mm] \not\in H_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \not\in H_1\cup H_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow H_1\cup H_2 [/mm] is keine Untergruppe von G
[mm] \Rightarrow [/mm] falsche Annahme
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Liegen [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] ineinander, dann ist die Vereinigung gerade die "größere" Menge und diese ist n.V. Untergruppe von G
Kann man das so machen?
Danke und Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Mo 15.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei G eine Gruppe mit Untergruppen [mm]H_1,H_2 \subset[/mm] G.
> Man zeige, dass [mm]H_1 \cup H_2[/mm] genau dann eine Untergruppe
> von G ist wenn [mm]H_1 \subset H_2[/mm] oder [mm]H_2 \subset H_1[/mm]
> Ich
> wollte einfach nur fragen ob meine Gedanken so passen:
>
> [mm]\Rightarrow:[/mm]
> Das 1-Element liegt auf jeden Fall in [mm]H_1 \cup H_2,[/mm] da [mm]H_1[/mm]
> und [mm]H_2[/mm] bereits Untergruppen sind und somit beide das
> 1_Element aus G auch enthalten.
>
> Nehme man nun an [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] würden nicht ineinander
> liegen
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] a [mm]\in H_1, a\not\in H_2[/mm] und b [mm]\in H_2[/mm]
> , b [mm]\not\in H_1[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab [mm]\not\in H_1[/mm] und ab [mm]\not\in H_2[/mm]
Hier könnte man vielleicht noch sagen, warum das so ist, aber sonst...
> [mm]\Rightarrow[/mm] ab [mm]\not\in H_1\cup H_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow H_1\cup H_2[/mm]
> is keine Untergruppe von G
> [mm]\Rightarrow[/mm] falsche Annahme
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> Liegen [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] ineinander, dann ist die Vereinigung
> gerade die "größere" Menge und diese ist n.V. Untergruppe
> von G
...ist das völlig paletti.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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