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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Es sei (G,*) eine Gruppe und U [mm] \le [/mm] G. Zeige, die folgenden Aussagen sind äquivalent:
a. gug^(-1) [mm] \in [/mm] U für alle u [mm] \in [/mm] U und alle g [mm] \in [/mm] G.
b. gUg^(-1) = U für alle g [mm] \in [/mm] G.
c. gU = Ug für alle g [mm] \in [/mm] G.
d. (gU)* (hU) = ghU für alle g,h [mm] \in [/mm] G.
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Hallo an alle,
hab ein paar kleine Fragen zu dieser Aufgabe:
Ich hab mir überlegt die Äquivalenzen über eine Ringschluss zu zeigen: also a. [mm] \Rightarrow [/mm] b. [mm] \Rightarrow [/mm] c. [mm] \Rightarrow [/mm] d. [mm] \Rightarrow [/mm] a.
Zu a. [mm] \Rightarrow [/mm] b. hab ich mir überlegt:
gug^(-1) [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] Setze gug^(-1) = u' für alle u' [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] weil u, u' /in U
gUg^(-1)= U
( bin mir allerdings sehr unsicher ob man das so machen darf)
b. [mm] \Rightarrow [/mm] c. :
gUg^(-1)= U
[mm] \Rightarrow [/mm] gUg^(-1) *g= U *g
[mm] \Rightarrow [/mm] gU= Ug
c. [mm] \Rightarrow [/mm] d. :
Hier weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll, weil ich auch nicht verstehe, wo das zweite U da plötzlich herkommen kann. Hätte mir jemand einen Tipp?
[mm] d.\Rightarrow [/mm] a. :
(gU)* (hU) = ghU / *(hU)^(-1)
gU= g
gUg^(-1) = g*g^(-1)
gUg^(-1)= e [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] gug^(-1) /in U
Hier bin ich mir auch sehr unsicher ,ob das richig ist...
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei (G,*) eine Gruppe und U [mm]\le[/mm] G. Zeige, die folgenden
> Aussagen sind äquivalent:
> a. gug^(-1) [mm]\in[/mm] U für alle u [mm]\in[/mm] U und alle g [mm]\in[/mm] G.
> b. gUg^(-1) = U für alle g [mm]\in[/mm] G.
> c. gU = Ug für alle g [mm]\in[/mm] G.
> d. (gU)* (hU) = ghU für alle g,h [mm]\in[/mm] G.
>
> Hallo an alle,
>
> hab ein paar kleine Fragen zu dieser Aufgabe:
>
> Ich hab mir überlegt die Äquivalenzen über eine Ringschluss
> zu zeigen: also a. [mm]\Rightarrow[/mm] b. [mm]\Rightarrow[/mm] c.
> [mm]\Rightarrow[/mm] d. [mm]\Rightarrow[/mm] a.
>
> Zu a. [mm]\Rightarrow[/mm] b. hab ich mir überlegt:
>
> gug^(-1) [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] Setze gug^(-1) = u' für alle
> u' [mm]\in[/mm] U
> [mm]\Rightarrow[/mm] weil u, u' /in U
> gUg^(-1)= U
> ( bin mir allerdings sehr unsicher ob man das so machen
> darf)
Du solltest dir villeicht erst klarmachen, was [mm] $gUg^{-1}$ [/mm] bedeutet, nämlich die Menge
[mm] \{gug^{-1}\mid u\in U\}[/mm].
Nach Voraussetzung (a) ist jedes Element dieser Menge ein Element von U, also [mm] \{gug^{-1}\mid u\in U\} \subset U[/mm].
Du musst also zeigen, dass jedes Element von U in dieser Menge vorkommt.
Seit also [mm] $u'\in [/mm] U$. Kannst du ein [mm] $u\in [/mm] U$ finden, sodass [mm] $gug^{-1}=u'$ [/mm] ?
>
> b. [mm]\Rightarrow[/mm] c. :
>
> gUg^(-1)= U
> [mm]\Rightarrow[/mm] gUg^(-1) *g= U *g
> [mm]\Rightarrow[/mm] gU= Ug
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c. [mm]\Rightarrow[/mm] d. :
>
> Hier weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll, weil ich
> auch nicht verstehe, wo das zweite U da plötzlich herkommen
> kann. Hätte mir jemand einen Tipp?
Auch hier musst du das als Mengen auffassen.
Tipp: Nach Voraussetzung (c) ist $hU=Uh$. Außerdem ist natürlich $U*U=U$.
>
> [mm]d.\Rightarrow[/mm] a. :
>
> (gU)* (hU) = ghU / *(hU)^(-1)
> gU= g
> gUg^(-1) = g*g^(-1)
> gUg^(-1)= e [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] gug^(-1) /in U
>
> Hier bin ich mir auch sehr unsicher ,ob das richig ist...
Vorsicht, du musst hier die Gleichheit der Mengen nachweisen, nicht die Existenz einzelner Elemente.
[mm] gU = \{gu_1\mid u_1\in U\}[/mm], [mm]hU = \{hu_2\mid u_2\in U\}[/mm]
Also ist
[mm] (gU)*(hU) = \{gu_1hu_2\mid u_1,u_2\in U\}[/mm], [mm]ghU = \{ghu_3\mid u_3\in U\}[/mm]
Die Voraussetzung ist also, dass es zu jedem Paar [mm] $u_1,u_2\in [/mm] U$ ein [mm] $u_3\in [/mm] U$ gibt, sodass
[mm] gu_1hu_2 = ghu_3 [/mm]
und umgekehrt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 So 30.11.2008 | | Autor: | Lati |
Hallo Rainer,
vielen, vielen Dank für deine Antwort. Hat mir sehr geholfen!
Grüße
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