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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 So 23.11.2008 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | | Finde zwei Untergruppen von [mm] S_{4} [/mm] (hiermit ist die symmetrische Gruppe gemeint), die beide die Mächtigkeit 4 besitzen, aber nicht isomorph zueinander sind. Begründe, weshalb es Untergruppen sind und weshalb sie nicht isomorph zueinander sind. |
Hallo,
ich habe absolut keine Vorstellung wie so eine Untergruppe aussieht.Könnte mir vielleicht jemand zwei nennen damit ich überhaupt mal weiß um was es hier geht?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 So 23.11.2008 | | Autor: | PeterB |
Du solltest dir zwei Dinge überlegen:
1) Welche Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 4 gibt es Überhaupt? (Nämlich nur 2!)
2) Diese musst du jetzt in [mm] $S_4$ [/mm] finden. Wahrscheinlich hilft es, wenn du dir erst mal zyklische Untergruppen ansiehst: Z.B. wenn wir das Element, das für Zahlen [mm] $a,b,c\in [/mm] {1,2,3,4}$ a auf b, b auf c und c und $c auf a$ schikt und die letzte Zahl fest lässt mit "(abc)" bezeichnen, dann erzeugt $(123)$ die Untergruppe $(123), (231), id$. (Einfach mal nachrechnen!) Das ist eine zyklische Gruppe mit 3 Elementen, also isomorph zu [mm] $\mathbb Z/3\mathbb [/mm] Z$. Die hilft die also nicht, aber du kannst auf ähnliche Weise (mit anderen Elementen) andere zyklische Untergruppen erzeugen die dir helfen.
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 23.11.2008 | | Autor: | Lati |
Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Irgendwie steh ich total auf dem Schlauch. Hab immer noch keine Ahnung wie ich jetzt damit auf eine Untergruppe kommen soll.sorry. Ich hab nur verstanden dass einn der Gruppen ein Element der Ordnung 4 besitzen muss und die andere nicht.
Hättest du mir vielleicht noch einen anderen Tipp?
Wär echt klasse, weil ich hab keine Ahnung...
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 So 23.11.2008 | | Autor: | Lati |
Hallo,
also ich glaube ich bin jetzt etwas schlauer und hab mir überlegt dass ich die zyklischen Gruppen C2 und C4 nehmen kann.Allerdings hab ich noch Probleme zu zeigen dass C2 eine Untergruppe von S4 ist. Dazu muss ich ja zeigen dass die Menge nicht leer ist, dass das Neutrale drin liegt und das Inverse auch. aber was ist hier genau das Inverse?
Und wie ich die Isomorphie zeige weiß ich auch nicht genau...
Könnt ihr mir da nochmal helfen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:57 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> also ich glaube ich bin jetzt etwas schlauer und hab mir
> überlegt dass ich die zyklischen Gruppen C2 und C4 nehmen
> kann.Allerdings hab ich noch Probleme zu zeigen dass C2
> eine Untergruppe von S4 ist. Dazu muss ich ja zeigen dass
> die Menge nicht leer ist, dass das Neutrale drin liegt und
> das Inverse auch. aber was ist hier genau das Inverse?
> Und wie ich die Isomorphie zeige weiß ich auch nicht
> genau...
> Könnt ihr mir da nochmal helfen?
Diese Antwort von dir verstehe ich nicht. Die C2 hat doch 2 Elemente, wenn wir dieselbe meinen, und nützt dir im Moment mal nix. Eine Vertreterin der C4 müßtest du mit den Hilfen finden, die Peter dir gegeben hat.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> vielen Dank für deine schnelle Antwort. Irgendwie steh ich
> total auf dem Schlauch. Hab immer noch keine Ahnung wie ich
> jetzt damit auf eine Untergruppe kommen soll.sorry. Ich hab
> nur verstanden dass einn der Gruppen ein Element der
> Ordnung 4 besitzen muss und die andere nicht.
Dann bestimm doch mal die Ordnungen verschiedener Elemente in der S4, damit du ein Gefühl für die Sache bekommst.
> Hättest du mir vielleicht noch einen anderen Tipp?
> Wär echt klasse, weil ich hab keine Ahnung...
Das ist sehr bedauerlich! Die andere Gruppe der Ordnung 4 ist die V4, sie hat nur Elemente der Ordnung 2, die miteinander kommutieren. Solche Dinger mußt du in der S4 also auch noch suchen und finden.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Lati |
Hallo,
ok jetzt müsste es mir klar sein. Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
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