Untergruppe von GL(3,R) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 So 08.01.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Zeige, dass [mm] G={\pmat{ 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 }, a,b,c\in \IR}
[/mm]
eine Untergruppe von [mm] GL(3,\IR) [/mm] ist. |
Gut, Die Vorlesung zum Thema habe ich leider verpasst.
Könnt ihr mir erklären wie ich zeigen kann, ob es sich um eine Untergruppe von [mm] GL(3,\IR) [/mm] handelt? GL(n,k) bezeichnet lineare Abbildungen. Wie man zeigt dass es sich um eine Untergruppe dessen handelt, das weiß ich leider nicht.
Bitte erklärt es mir!
LG heinze
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> Zeige, dass [mm]G={\pmat{ 1 & a & b \\
0 & 1 & c \\
0 & 0 & 1 }, a,b,c\in \IR}[/mm]
>
> eine Untergruppe von [mm]GL(3,\IR)[/mm] ist.
> Gut, Die Vorlesung zum Thema habe ich leider verpasst.
>
Hallo,
Deine Vorlesung können wir hier natürlich nicht nachholen.
Besorge Dir Skript und Mitschrift und eigne Dir den Stoff im Selbststudium an. Eine andere Lösung gebt es nicht.
Zunächst einmal ist wichtig, daß Du begreifst, was eine Gruppe ist, anschließend mach Dir klar, daß [mm] $GL(3,\IR)$ [/mm] , die invertierbaren [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR, [/mm] zusammen mit der Multiplikation eine Gruppe bilden.
Eine Untergruppe ist eine Teilmenge, welche selbst wieder eine Gruppe ist.
Daß G eine Teilmenge von [mm] $GL(3,\IR)$ [/mm] ist, ist schnell gezeigt.
Nun mußt Du entweder alle Gruppeneigenschaften nachweisen, was aber dumm wäre, weil es mühsam ist, oder Du mußt mal nachschlagen, wie die Kriterien zum Nachweis von "Untergruppe" lauten.
Schreib sie genau auf, mit Vor- und Nachwort, also "es seien", "für alle", "dann ist".
Anhand dessen können wir dann besprechen, was hier zu tun ist.
Gruß v. Angela
> Könnt ihr mir erklären wie ich zeigen kann, ob es sich um
> eine Untergruppe von [mm]GL(3,\IR)[/mm] handelt? GL(n,k) bezeichnet
> lineare Abbildungen.Wie man zeigt dass es sich um eine
> Untergruppe dessen handelt, das weiß ich leider nicht.
> Bitte erklärt es mir!
>
> LG heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ich habe keine Vorlesung verpasst, bin trotzdem ziemlich verwirrt.
> Daß G eine Teilmenge von [mm]GL(3,\IR)[/mm] ist, ist schnell
> gezeigt.
> Nun mußt Du entweder alle Gruppeneigenschaften
> nachweisen, was aber dumm wäre, weil es mühsam ist, oder
> Du mußt mal nachschlagen, wie die Kriterien zum Nachweis
> von "Untergruppe" lauten.
> Schreib sie genau auf, mit Vor- und Nachwort, also "es
> seien", "für alle", "dann ist".
> Anhand dessen können wir dann besprechen, was hier zu tun
> ist.
>
Sind etwa DIE Gruppen gemeint? Das ist ja vom Anfang des Semesters. Also Assoziativgesetz muss gelten, es gibt ein neutrales und ein inverses Element...
Den Vorlesungsteil zur algemeinen linearen Gruppe vermisse ich in meiner Mitschrift - und das obwohl nichts fehlt. Hier steht leider nur
" { A [mm] \in M_{nxn} [/mm] (K) | A invertierbar } = GL(n,K) = [mm] GL_n [/mm] (K) heißt allgemeine lineare Gruppe.
Ist Gruppe bezgl. [mm] \cdot [/mm] (Übungsaufgabe) "
also, ich weiß jetzt was gemeint ist, aber wie ich das zeige...mhhh...sind wirklich die drei Punkte von "damals" gemeint? Fals ja, könnte bitte jemand ja sagen? Dann probier ich mal, wie weit ich damit komme ; )
LG Fin
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moin Fincayra,
Ja, hier sind "die" Gruppen gemeint, mit Assoziativität und Inversen, etc.
Poste mal genau, welche Axiome du rausgesucht hast, falls du nicht weiter kommst kann dir da sicher geholfen werden.
Davon abgesehen reicht die Definition der GL(n,K) doch aus, das sind halt alle $n [mm] \times [/mm] n$ Matrizen mit Einträgen in K, die invertierbar sind.
Man kann natürlich noch sehr viel mehr damit machen außer zu zeigen, dass es eine Gruppe ist, aber das kommt noch irgendwann im Laufe deines Studiums. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Na ja, ich hab in meiner Mappe ein paar Seiten nach vorne geblättert ; )
"Eine nichtleere Menge G mit einer Verknüpfung heißt Gruppe, wenn gilt: "
und jetzt mal auf meine Matrix umgeschrieben
i) Assoziativgesetz: (laut meiner Def brauch ich das nur für [mm] \cdot [/mm] oder?) $ [mm] (G_1 [/mm] * [mm] G_2) [/mm] * [mm] G_3 [/mm] = [mm] G_1 [/mm] * [mm] (G_2 [/mm] * [mm] G_3) [/mm] $
ii) es existiert ein neutrales Element: E [mm] \cdot [/mm] G = G [mm] \cdot [/mm] E = G, für alle G [mm] \in [/mm] GL
iii) es existiert ein inverses Element: zu jedem G [mm] \in [/mm] GL gibt es ein G' [mm] \in [/mm] GL mit $ G * G' = G' * G = E $
Wie zeig ich das bei ii) richtig? Es ist ja die Einheitsmatrix, also hab ich einfach G [mm] \cdot E_3 [/mm] gerechnet, aber das ist doch nicht "richtig", oder?
LG
Fin
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Dass die Einheitsmatrix das neutrale Element ist, ist vollkommen richtig, doch.
Und du kannst das auch so sagen und hast das Axiom damit abgehandelt.
Des weiteren wird die GL(n,K) (und im Normalfall auch ihre Untergruppen) bezüglich Matrixmultiplikation betrachtet, ja.
Das sind die Gruppenaxiome, diese sind hier aber nicht ganz so hilfreich.
Was du brauchst sind Untergruppenaxiome, siehe hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe#.C3.84quivalente_Definitionen
Die müsstest du an sich auch noch irgendwo stehen haben, falls du noch weiter suchen möchtest (denn die sollte man schonmal gehört haben^^).
Konkret musst du zeigen:
Multiplizierst du zwei solche Matrizen aus G, erhältst du wieder eine Matrix aus G und ist eine Matrix in G, so ist auch ihre Inverse in G.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Gut, jetzt hab ich so schön gerechnet und es hat nichts gebracht ^^
> Multiplizierst du zwei solche Matrizen aus G, erhältst du
> wieder eine Matrix aus G und ist eine Matrix in G, so ist
> auch ihre Inverse in G.
Wie zeig ich, dass die in G sind? Wahrscheinlich mach ich mir das grad schwerer als es ist.
Wenn ich [mm] G_1 \cdot G_2 [/mm] rechne hab ich ja
[mm] \pmat{1& a_2 +a_1 & b_2 + a_1 c_2 + b_1 \\0&1& c_2 + c_1 \\ 0&0&1}
[/mm]
Und nu? Warum ist das in G ? Komm mir grad vor, als hät ich ein Brett vor dem Kopf...
LG
Fin
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> > Multiplizierst du zwei solche Matrizen aus G, erhältst du
> > wieder eine Matrix aus G und ist eine Matrix in G, so ist
> > auch ihre Inverse in G.
>
> Wie zeig ich, dass die in G sind? Wahrscheinlich mach ich
> mir das grad schwerer als es ist.
> Wenn ich [mm]G_1 \cdot G_2[/mm] rechne hab ich ja
> [mm]\pmat{1& a_2 +a_1 & b_2 + a_1 c_2 + b_1 \\
0&1& c_2 + c_1 \\
0&0&1}[/mm]
>
> Und nu? Warum ist das in G ? Komm mir grad vor, als hät
> ich ein Brett vor dem Kopf...
Hallo,
ja, das wird wohl so sein...
Was für Matrizen sind denn in G? Obere [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen mit Einsen auf der Hauptdiagonale.
Und? Von welcher Gestalt ist die von Dir errechnete Matrix? Klickert's?
LG Angela
>
> LG
> Fin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Do 12.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
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> > > Multiplizierst du zwei solche Matrizen aus G, erhältst du
> > > wieder eine Matrix aus G und ist eine Matrix in G, so ist
> > > auch ihre Inverse in G.
> >
> > Wie zeig ich, dass die in G sind? Wahrscheinlich mach ich
> > mir das grad schwerer als es ist.
> > Wenn ich [mm]G_1 \cdot G_2[/mm] rechne hab ich ja
> > [mm]\pmat{1& a_2 +a_1 & b_2 + a_1 c_2 + b_1 \\
0&1& c_2 + c_1 \\
0&0&1}[/mm]
>
> >
> > Und nu? Warum ist das in G ? Komm mir grad vor, als hät
> > ich ein Brett vor dem Kopf...
>
> Hallo,
>
> ja, das wird wohl so sein...
>
> Was für Matrizen sind denn in G? Obere [mm]3\times[/mm] 3-Matrizen
> mit Einsen auf der Hauptdiagonale.
> Und? Von welcher Gestalt ist die von Dir errechnete
> Matrix? Klickert's?
KLICK
Danke : )
LG Fin
>
> LG Angela
> >
> > LG
> > Fin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe auch eine Frage zu der Aufgabe.
Und zwar habe ich sie folgendermaßen bearbeitet:
Ich habe die Axiome geprüft und da es sich um eine Teilmenge von der Menge Gl(3;R) handelt, ist es eine Untergruppe.
Warum kann man das so nicht machen?
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> Ich habe auch eine Frage zu der Aufgabe.
> Und zwar habe ich sie folgendermaßen bearbeitet:
> Ich habe die Axiome geprüft
Hallo,
welche denn? Alle Gruppenaxiome?
> und da es sich um eine
> Teilmenge von der Menge Gl(3;R) handelt, ist es eine
> Untergruppe.
>
> Warum kann man das so nicht machen?
Wenn Du es richtig gemacht hast, dann ist es so richtig, wie Du es gemacht hast.
Ich schrieb doch auch sinngemäß ganz am Anfang: entweder alle Gruppeneigenschaften prüfen oder mit den Unterraumkriterien arbeiten.
Ob Du das Richtige getan hast, können wir natürlich nicht riechen, da müßte man es sehen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Fr 13.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe drei Eigenschaften geprüft:
-Assoziativität
-neutrales Element (aus der Vorlesung die Einheitsmatrix)
-inverses Element (Exisenz wurde in der Vorlesung bewiesen)
Das es eine Untermenge ist muss natürlich auch noch gezeigt werden. Kann einfach sagen, dass die Elemente der Matrix Teilmengen der reellen Zahlen sind?
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Hallo,
> Ich habe drei Eigenschaften geprüft:
> -Assoziativität
> -neutrales Element (aus der Vorlesung die Einheitsmatrix)
> -inverses Element (Exisenz wurde in der Vorlesung
> bewiesen)
Du hast also, statt die Untergruppenkriterien zu verwenden, die Gruppeneigenschaften gezeigt.
Das kannst Du natürlich machen.Auch wenn es unnötige Arbeit verursacht, ist es völlig richtig.
Du darfst aber nicht vergessen zu zeigen, daß die Verknüpfung zweier Elemente Deiner Menge wieder in der Menge liegt.
>
> Das es eine Untermenge ist muss natürlich auch noch
> gezeigt werden. Kann einfach sagen, dass die Elemente der
> Matrix Teilmengen der reellen Zahlen sind?
Nein, das reicht nicht. In [mm] GL(3,\IR) [/mm] sind die invertierbaren (!) [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR. [/mm] Die Invertierbarkeit mußt Du also noch begründen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | (b) Show that
C = { [mm] \pmat{a&b\\-b&a} [/mm] | a,b [mm] \in \IR [/mm] }
together with the usual addition and multiplication of matrices is a field. Do you know this field? |
Hi
Tut mir leid, dass ich gleich noch eine Frage dran hänge.
Das ist Aufgabenteil (b) der Aufgabe. Aus irgendeinen Grund muss die Aufgabe englisch sein und ich hab ein Übersetzungsproblem. "field" ist ja normalerweise ein "Feld", allerdings hab ich in meiner ganzen Vorlesungsmappe das Wort "Feld" nicht gefunden. Wikipedia kennt es im Zusammenhang mit Mathe auch nicht. Von daher glaube ich nicht, dass ich "Feld" in der Freitagsvorlesung hören werde. ![[]](/images/popup.gif) Im Wörterbuch Leo hab ich gefunden, dass es "Körper" heißen könnte. Ist das hier so gemeint?
LG
Fin
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Jup, damit ist Körper gemeint.
Du hast ja mit Addition und Multiplikation von Matrizen einen Ring, also was musst du noch zeigen, um Körper zu bekommen?
Und ja, das ist ein feiner Körper, aber ob man den so einfach erkennt...^^
Davon abgesehen kennst du vielleicht Bezeichnungen wie [mm] $\IF_2$ [/mm] für den Körper mit 2 Elementen; das kommt vom englischen Field.
lg
Schadow
PS:
http://en.wikipedia.org/wiki/Field
gleich der oberste Eintrag bei Science and mathematics. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Oh je, mal in der englischen Wiki zu gucken, da hätte ich drauf kommen können xD
Damit das C ein Körper ist, muss ich zeigen,
i) abel'sche Gruppe: [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm] = [mm] C_2 [/mm] + [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_1 \cdot C_2 [/mm] = [mm] C_2 \cdot C_1
[/mm]
ii) Assoziativgesetz: [mm] C_1 (C_2 \cdot C_3) [/mm] = [mm] (C_1 \cdot C_2) C_3
[/mm]
iii) Distributivgesetz: [mm] C_1 (C_2 [/mm] + [mm] C_3 [/mm] ) = ( [mm] C_1 \cdot C_2) [/mm] + ( [mm] C_1 \cdot C_3) [/mm] und [mm] (C_1 [/mm] + [mm] C_2) C_3 [/mm] = ( [mm] C_1 \cdot C_3) [/mm] + ( [mm] C_2 \cdot C_3)
[/mm]
iv) neutrales Element
v) inverses Element
Ist das so richtig? Oder hab cih was verwechselt/vergessen?
LG
Fin
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Das ist bereits viel zu viel.^^
Wie gesagt weißt du bereits vieles über Matrizen (zum Beispiel weißt du, dass Assoziativität gilt).
Überleg dir mal, was genau dir noch fehlt.
Vergesse auch die Abgeschlossenheit nicht (also addierst du zwei Elemente aus der Menge oder multiplizierst du zwei, landest du wieder drinn).
Neben der Abgeschlossenheit brauchst du nur noch zwei andere Sachen zu zeigen; nur mal als Tipp. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
So langsam werd ich traurig. Ich hab den Übungszettel eigentlich für angenehm befunden, aber jetzt stell ich fest, dass er mich doch ganz schön ärgert. Aber wahrscheinlich ist es eine gute Erinnerung, die Sachen vom Anfang des Semesters nochmal gut anzugucken...
Also... Wenn ich den Ring schon hab, brauch ich:
kommutativer Ring: [mm] C_1 \cdot C_2 [/mm] = [mm] C_2 \cdot C_1
[/mm]
das Einselement: 1 [mm] \cdot [/mm] C = C [mm] \cdot [/mm] 1 = C
und damit daraus wirklich ein Körper wird: muss C [mm] \cdot C^{-^} [/mm] = E
So richtig verstanden oder schon wieder was falsch verstanden?
LG
Fin
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> Hi
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> So langsam werd ich traurig. Ich hab den Übungszettel
> eigentlich für angenehm befunden, aber jetzt stell ich
> fest, dass er mich doch ganz schön ärgert. Aber
> wahrscheinlich ist es eine gute Erinnerung, die Sachen vom
> Anfang des Semesters nochmal gut anzugucken...
Hallo,
die Begriffe werden ja nicht zum Vergessen eingeführt, sondern sie sind das Handwerkszeug für die kommenden Semester, und es ist zumindest gut, wenn man weiß, wo man sie nachschlagen kann und sich dann an Näheres erinnert.
>
> Also... Wenn ich den Ring schon hab, brauch ich:
> kommutativer Ring: [mm]C_1 \cdot C_2[/mm] = [mm]C_2 \cdot C_1[/mm]
> das
> Einselement: 1 [mm]\cdot[/mm] C = C [mm]\cdot[/mm] 1 = C
> und damit daraus wirklich ein Körper wird: muss C [mm]\cdot C^{-^}[/mm]
> = E
>
> So richtig verstanden oder schon wieder was falsch
> verstanden?
Das hast Du richtig verstanden.
LG Angela
>
> LG
> Fin
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 15.01.2012 | | Autor: | heinze |
Do you know this field?
Kennst du diesen Körper?
Was ist denn mit diesem Nachtrag gemeint? Das ist mir nicht klar geworden, nachdem ich gezeigt habe, dass es sich um einen Körper handelt.
Kann mir das jemand nochmal erklären?
Zur Multiplikation kann ich einfach wie folgt zeigen, ist das richtig?
[mm] \pmat{ a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 }*\pmat{ a_2 & b_2 \\ -b_2 & a_2 }=
[/mm]
[mm] \pmat{ a_1+a_2 & b_1-b_2 \\ -b_1-b_2 & a_1+a_2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ a_2 & b_2 \\ -b_2 & a_2 }*\pmat{ a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 }=
[/mm]
[mm] \pmat{ a_2+a_1 & b_2-b_1 \\ -b_2-b_1 & a_2+a_1 }
[/mm]
Lg heinze
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> Do you know this field?
>
> Kennst du diesen Körper?
>
> Was ist denn mit diesem Nachtrag gemeint? Das ist mir nicht
> klar geworden, nachdem ich gezeigt habe, dass es sich um
> einen Körper handelt.
> Kann mir das jemand nochmal erklären?
Hallo,
die wollen von Dir wissen, daß der betrachtete Körper isomorph zum Körper der komplexen zahlen ist.
>
> Zur Multiplikation kann ich einfach wie folgt zeigen, ist
> das richtig?
Was für ein Satz! Völlig unverständlich. Was willst Du zur Mutliplikation zeigen, welche Eigenschaft der Multiplikation?
>
> [mm]\pmat{ a_1 & b_1 \\
-b_1 & a_1 }*\pmat{ a_2 & b_2 \\
-b_2 & a_2 }=[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a_1+a_2 & b_1-b_2 \\
-b_1-b_2 & a_1+a_2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a_2 & b_2 \\
-b_2 & a_2 }*\pmat{ a_1 & b_1 \\
-b_1 & a_1 }=[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a_2+a_1 & b_2-b_1 \\
-b_2-b_1 & a_2+a_1 }[/mm]
Was tust Du? Ich glaube, Du solltest Dich mal informieren, wie man Matrizen multipliziert.
LG Angela
>
>
>
> Lg heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mo 16.01.2012 | | Autor: | heinze |
Da habe ich wohl Blödsinn geschrieben, ich habe es nun korrekt.
Allerdings habe ich probleme die inverse Matrix zu [mm] \pmat{ a & b \\ -b & a } [/mm] zu finden.
Ich weiß auch wie ich die eigentlich berechnen muss, aber in dem Fall kriege ich es nicht hin.
Erklärungen wären nett.
LG heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Da habe ich wohl Blödsinn geschrieben, ich habe es nun
> korrekt.
>
> Allerdings habe ich probleme die inverse Matrix zu [mm]\pmat{ a & b \\ -b & a }[/mm]
> zu finden.
> Ich weiß auch wie ich die eigentlich berechnen muss, aber
> in dem Fall kriege ich es nicht hin.
Ganz allgemein:
[mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix} [/mm] $
FRED
>
> Erklärungen wären nett.
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mo 16.01.2012 | | Autor: | heinze |
Man stelle ich mich dämlich an:
[mm] \pmat{ a & b \\ -b & a }= \bruch{1}{a^2-b^2}*\pmat{ a & -b \\ b & a }=
[/mm]
[mm] \pmat{ \bruch{a}{a^2-b^2} & -\bruch{b}{a^2-b^2} \\ \bruch{b}{a^2-b^2} & \bruch{a}{a^2-b^2} }
[/mm]
das kann doh so nicht stimmen oder?
LG heinze
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> Man stelle ich mich dämlich an:
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> [mm]\pmat{ a & b \\
-b & a }= \bruch{1}{a^2-b^2}*\pmat{ a & -b \\
b & a }=[/mm]
>
> [mm]\pmat{ \bruch{a}{a^2-b^2} & -\bruch{b}{a^2-b^2} \\
\bruch{b}{a^2-b^2} & \bruch{a}{a^2-b^2} }[/mm]
>
> das kann doh so nicht stimmen oder?
Hallo,
Du solltest an dieser Stelle formulieren, wieso Du meinst, daß die Matrix nicht richtig ist. Dann weißt Du nämlich u.U. auch, an welcher Stelle der Fehler zu suchen ist und kannst nochmal gezielt nachschauen.
Ob die Matrix stimmt oder nicht, kannst Du ja leicht selber prüfen, indem Du sie mit der Matrix, deren Inverses sie sein soll, multiplizierst.
Sie stimmt nicht, da hast Du übrigens recht. Du hast die Determinante der Ursprungsmatrix falsch ausgerechnet.
LG Angela
>
>
> LG heinze
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