Untergruppe Lösungsansatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Do 08.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
| Aufgabe | Sei (G, *) eine Gruppe und M eine Teilmenge von G. Setze
[mm] C_G(M) [/mm] ={ [mm] x\in [/mm] G |xm=mx für alle [mm] m\in [/mm] M }
Zeigen Sie, dass [mm] C_G(M) [/mm] Untergruppe von G ist. |
Also man soll ja zeigen, dass [mm] C_G(M) [/mm] abgeschlossen, assoziativ, ein neutrales und sowie ein inverses Element existiert. Ich verstehe nicht wieso diese Menge als [mm] C_G(M) [/mm] geschrieben wird und wieso dann M eine Teilmenge von G sein soll, aber ich hab damit einfach gearbeitet als sei es ne normale Menge.
(1) Assoziativität wird geerbt
(2) Neutrales Element
Es existiert ein [mm] e\in C_G(M) [/mm] mit
[mm]a*e=a[/mm] für alle [mm] a\in C_G(M)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] e=1
(3) Sei a^-1 [mm] \in C_G(M) [/mm] mit
[mm] a*a^{-1}=e=1 [/mm] für alle [mm] a\in C_G(M)
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^{-1}= \bruch{1}{a}
[/mm]
Ist das bisher so richtig? Kommt mir doch sehr trivial vor...
Und bei Abgeschlossenheit komme ich nicht weiter, weil ich nicht recht weiß was diese Gruppe macht. Was bedeutet dieses [mm] C_G(M) [/mm] = { [mm] x\in [/mm] G | xm=mx für alle [mm] m\in [/mm] M } denn genau? Hoffe ihr könnt mir helfen.
Grüße jun
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Do 08.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Hi,
könnte vielleicht jemand helfen, auch wenn die Uhr schon recht vorangeschritten ist? Bräuchte das bis morgen.
Grüße jun
|
|
|
| |
|
> Ich verstehe nicht wieso diese Menge als [mm]C_G(M)[/mm]
> geschrieben wird
Weil C durch die Gruppe G (also durch die Menge G und die auf G definierte Operation) und durch die Menge M bestimmt ist. Das Symbol kann so für konkrete Beispiele verwendet werden, ohne zu sagen "Sei M=... und G=..."
Wenn ich also schreibe [mm] $C_\IZ(\{1,2,3\})$ [/mm] weiss ich, dass ich in die Definition von [mm] $C_G(M)$ [/mm] die Annahmen [mm] $G=\IZ$ [/mm] und M={1,2,3} einsetzen muss.
> und wieso dann M eine Teilmenge von G sein
> soll,
Sonst wären die Operationen [mm] $m\cdot [/mm] x$ und [mm] $x\cdot [/mm] m$ ja gar nicht definiert.
> (1) Assoziativität wird geerbt
>
> (2) Neutrales Element
>
> Es existiert ein [mm]e\in C_G(M)[/mm] mit
> [mm]a*e=a[/mm] für alle [mm]a\in C_G(M)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] e=1
Das scheint mir nicht klar. Ist "Es existiert..." Hypothese oder ist es zu zeigen?
Zu Zeigen: [mm] $C_G(M)$ [/mm] hat ein neutrales Element.
Ich zeige, dass [mm] $1_G\in C_G(M)$. [/mm] Da es auf G neutral ist, ist es auf der Teilmenge sowieso neutral (Das musst du vielleicht aber trotzdem zeigen). Ich muss also nur noch zeigen, dass es auch in der Teilmenge [mm] $C_G(M)$ [/mm] enthalten ist.
[mm] $1_G\cdot g=g\cdot 1_G\;\forall g\in G\supset [/mm] M$, also auch [mm] $\forall g\in M\Box$
[/mm]
> (3) Sei a^-1 [mm]\in C_G(M)[/mm] mit
> [mm]a*a^{-1}=e=1[/mm] für alle [mm]a\in C_G(M)[/mm]
> [mm]\Rightarrow a^{-1}= \bruch{1}{a}[/mm]
Sei [mm] $a\in C_G(M)$. [/mm] Zu zeigen dass [mm] $a^{-1}\in C_G(M)$.
[/mm]
Zeige also, dass [mm] $a^{-1}m=ma^{-1}\;\forall m\in [/mm] M$
>
> Und bei Abgeschlossenheit komme ich nicht weiter, weil ich
> nicht recht weiß was diese Gruppe macht.
Analog zu (3): Seien [mm] $a,b\in C_G(M)$ [/mm] Zeige dass [mm] $(ab)m=m(ab)\;\forall m\in [/mm] M$
> Was bedeutet
> dieses [mm]C_G(M) = \{x \in G | xm=mx [/mm]für alle[mm]m\in M \}[/mm] denn
> genau?
Was meinst du mit "Was bedeutet"?
[mm] $C_G(M)$ [/mm] ist die Menge aller Elemente x von G für die gilt ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Danke für die Antwort, da lag ich ja doch ganz schön daneben.
Was mich immer noch am meisten verwirrt ist die Definition der Menge. Ich weiß zwar, dass in [mm] C_G(M) [/mm] alle Elemente x aus G sind mit xm=mx, aber irgendwie ist mir das zu abstrakt. Ich kann mir hierunter einfach nichts vorstellen. Ist einfach [mm] a\in C_G(M) [/mm] a=ma=am? D.h. ich kann jedes Element a aus [mm] C_G(M) [/mm] durch a*m bzw. m*a ersetzen?
Und wie zeige ich jetzt z.B. $ [mm] a^{-1}m=ma^{-1}\;\forall m\in [/mm] M $ . Das Kommutativgesetz werde ich ja wahrscheinlich nicht benutzen dürfen...
|
|
|
| |
|
> Danke für die Antwort, da lag ich ja doch ganz schön
> daneben.
>
> Was mich immer noch am meisten verwirrt ist die Definition
> der Menge. Ich weiß zwar, dass in [mm]C_G(M)[/mm] alle Elemente x
> aus G sind mit xm=mx, aber irgendwie ist mir das zu
> abstrakt. Ich kann mir hierunter einfach nichts vorstellen.
> Ist einfach [mm]a\in C_G(M)[/mm] a=ma=am? D.h. ich kann jedes
> Element a aus [mm]C_G(M)[/mm] durch a*m bzw. m*a ersetzen?
Nein, a ist nicht gleich am, aber a ist genau dann in C, wenn du am mit ma vertauschen kannst. (für alle m aus M)
> Und wie zeige ich jetzt z.B. [mm]a^{-1}m=ma^{-1}\;\forall m\in M[/mm]
> . Das Kommutativgesetz werde ich ja wahrscheinlich nicht
> benutzen dürfen...
Nein, wer sagt denn, dass die Gruppe kommutativ ist? 
Sei a in C. Nach definition von C gilt also am=ma
Ich will zeigen, dass [mm] $a^{-1}m=ma^{-1}$ [/mm] denn damit zeige ich dass [mm] $a^{-1}$ [/mm] in C ist.
Jetzt faange ich von hinten, also vom zu zeigenden an. so ist es oft einfacher die notwendigen Schritte zu finden. Am Schluss werde ich dann die Argumentation sauber, also von der Annahme bis zum "zu zeigen" nochmals aufschreiben.
[mm] $a^{-1}m=ma^{-1}$ [/mm] beide seiten von links mit a multiplizieren
[mm] $aa^{-1}m [/mm] = [mm] ama^{-1}$ [/mm]
so ein [mm] $a^{-1}$ [/mm] ist so gut wie weg
$m = [mm] ama^{-1}$ [/mm] beide Seiten von rechts mit a multiplizieren
$ma = [mm] ama^{-1}a$ [/mm] so, geschafft.
Das war der "Entwurf", jetzt sauber:
Sei [mm] $a\in [/mm] C$
Nach Definition von C gilt am=ma für alle m in M
Daraus folgt [mm] $a^{-1}(am)a^{-1} [/mm] = [mm] a^{-1}(ma)a^{-1}$ [/mm] für alle m in M
also (Assoziativgesetz) [mm] $(a^{-1}a)(ma^{-1}) [/mm] = [mm] (a^{-1}m)aa^{-1}$ [/mm] für alle m in M
also (definition vom inversen Element) [mm] $ma^{-1}=a^{-1}m$ [/mm] für alle m in M
Damit erfüllt also [mm] $a^{-1}$ [/mm] die Definition von $C$, ist also in $C$ enthalten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Danke dir vielmals, dann werde ich mal versuchen das analog für die Abgeschlossenheit hinzukriegen, aber nach deinen tollen Erklärungen bin ich zuversichtlich, dass ich das schaffe.
Grüße jun
|
|
|
|
