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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und A [mm] \subset [/mm] G. Die von A erzeugte Untergruppe erz(A) ist definiert durch :
erz(A)= {a1*a2*...*an: n [mm] \in \IN, [/mm] ai [mm] \in [/mm] A oder ai^-1 [mm] \in [/mm] A}.
Zeigen Sie, dass erz(A) [mm] \subset [/mm] G ist eine Untergruppe. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab die Aufgabe aus dem Übungsbuch für Lineare Algebra von Hannes und Birgit. In der Lösung steht sinnvollerweise, dass die Aufgabe so leicht ist, das sie es nicht beweisen wollen. :D?
Naja ich versteh es jedenfalls nicht.
Könnte mir mal jemand sagen wie erz(A) für A={1,2,(1/2)} oder irgendeine andere Menge aussieht?
Woher weiß ich den Wert von n? Und angeblich soll das die kleinste Untergruppe sein.. Kann mich jemand aufklären? Danke!
PS: Falls der Autor von dem Übungsbuch das liest, soll die Bemerkung unter Lösung ein Scherz sein?
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> Sei G eine Gruppe und A [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G. Die von A erzeugte
> Untergruppe erz(A) ist definiert durch :
>
> erz(A)= {a1*a2*...*an: n [mm]\in \IN,[/mm] ai [mm]\in[/mm] A oder ai^-1 [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> A}.
>
> Zeigen Sie, dass erz(A) [mm]\subset[/mm] G ist eine Untergruppe.
> Ich hab die Aufgabe aus dem Übungsbuch für Lineare Algebra
> von Hannes und Birgit.
Hallo,
ich wußte gar nicht, daß die ein Mathematikbuch geschrieben haben. Erstaunlich...
Ich gehe davon aus, daß Dir die wesentlichen Begriffe bekannt sind, daß Du weißt, was Gruppen und Untergruppen sind und wie man das nachweist.
Du hast hier eine Gruppe [mm] (G,\*).
[/mm]
Nun nimmst Du Dir eine Teilmenge A dieser Gruppe, [mm] A\subseteq [/mm] G.
Jetzt definiert man eine neue Menge, die von A erzeugte Menge erz(A).
Was für Elemente sind da drin? Alle, die man durch endlich viele Verknüpfungen von Elementen aus A und ihren Inversen machen kann.
Dies erzählt Dir " erz(A)= [mm] \{a_1*a_2*...*a_n: n \in \IN,a_i \in A oder a_i^{-1}\in A\}".
[/mm]
> Woher weiß ich den Wert von n?
n hat keine festen Wert, es sind Verknüpfungen von beliebiger Länge erlaubt, entscheidend ist, daß diese Verknüpfungen endlich sind, daher das [mm] n\in \IN.
[/mm]
> Und angeblich soll das die
> kleinste Untergruppe sein.. Kann mich jemand aufklären?
Ich denke nicht, daß das so dort steht.
Sicher ist dort erwähnt, daß es die kleinste Untergruppe von G ist, welche A enthält.
Zu zeigen ist hier folgendes:
1. erz(A) ist Untergruppe von G.
Hier sind die Untergruppenbedingungen nachzuweisen
2. erz(A) ist die kleinste Untergruppe, welche A enthält,
d.h. ist U irgendeine Untergruppe von G mit A [mm] \subseteq [/mm] U, so folgt erz(A) [mm] \subseteq [/mm] U.
Nun solltest Du in die Lage versetzt sein, daß Du mit der Lösung der Aufgabe beginnen kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 13.11.2007 | | Autor: | Ninjoo |
Achso! Danke.
Das muss also wegen der Abgeschlossenheit so sein oder? Denn wenn
a,b [mm] \in [/mm] A folgt ja das a*b [mm] \in [/mm] A . Aber dann ist ja A eine unendliche Menge. Da wenn a drin ist, dann ist ja auch a*a drin und a*a*a usw. Wieso betrachtet erz(A) nur die endlichen Produkte?
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> Das muss also wegen der Abgeschlossenheit so sein oder?
Hallo,
mit "das" meinst Du wohl die Tatsache, daß erz(A) eine Untergruppe von G ist. (?).
Ja, die Abgeschlossenheit spielt da eine Rolle.
Aber schau Dir die Untergruppenkriterien an. Es muß noch mehr erfüllt sein.
> Denn wenn
> a,b [mm]\in[/mm] A folgt ja das a*b [mm]\in[/mm] A .
Nein. Es folgt, daß das Produkt in erz(A) ist.
> Aber dann ist ja A eine
> unendliche Menge.
Du mußt deutlich die Menge A und erz(A) unterscheiden.
Für A folgt gar nichts, weil A ja zu den Voraussetzungen der Aufgabe gehört. A ist uns gegeben.
Ich vermute, Deine Gedanken bzgl. der Unendlichkeit gelten eher der Menge erz(A).
> Da wenn a drin ist, dann ist ja auch a*a
> drin und a*a*a usw.
Ja, so ist das.
Daraus wissen wir aber noch nicht, ob erz(A) endlich oder unendlich ist.
Das kommt nicht zuletzt auf die Grundmenge G an, aus welcher wir A schöpfen.
Ich weiß nicht, wieviel Du über Gruppen weißt. Denk an die Restklassen modulo irgendwas mit der entsprechenden Addition. Daraus können wir keine unendliche Menge erzeugen, und wenn wir unsere Elemente noch so oft verknüpfen
> Wieso betrachtet erz(A) nur die
> endlichen Produkte?
Einerseits, weil sie so definiert ist...
Aber das sie so gemacht ist, hat natürlich einen Grund:
in unseren Gruppenaxiomen kommt ja keine unendliche Verknüpfung vor.
Da ist nur die Verknüfung zweier Elemente erklärt, unter Beachtung der Regeln können wir zwar endlich viele Elemente verknüpfen, aber für unendlich viele versagt die Definition.
Gruß v. Angela
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