UnterVR K^n mit twist < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und n ∈ [mm] \IN
[/mm]
a) Für welche a ∈ K ist [mm] V_a [/mm] := { [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] ∈ [mm] K^n [/mm] | [mm] \summe_{i=1}^{n} v_i [/mm] =a} ein Untervektorraum von [mm] K^n?
[/mm]
b) Bestimmen sie für diese a jeweils eine Basis und die Dimension von Va. |
Hallo,
ich verstehe hier nicht ganz, ob die [mm] v_i [/mm] (und somit die v) Einträge EINES Vektors sind oder n verschiedene Vektoren.
Wenn es Einträge sind, dann ist mir die a) klar, dann stimmt das nur für a = [mm] 0_K, [/mm] da sonst die Abgeschlossenheit zweier Vektoren aus dem UVR verletzt ist.
Wenn dies aber einzelne Vektoren sind, dann verstehe ich nicht, wie die Summe von Vektoren einen Wert a ergeben kann, und nicht einen neuen Vektor.
Sind es jedoch einzelne Werte, dann verstehe ich nicht, wie ich an die b) herangehen soll. Denn dann wäre ja die oben gegebene Menge bereits eine Basis von [mm] V_a [/mm] und immer eindimensional. Allerdings kann ich ja recht viele linear unabhängige Vektoren finden, deren Wertesumme 0 ergibt, also eben für jedes n (und a = 0): [mm] \vektor{1 \\ -1/n \\ ... \\ -1/n} [/mm] und dann die 1 an jeder Stelle, also n Möglichkeiten.
Ich habe irgendwie das Gefpühl ganz schön auf dem Holzweg zu sein.
Bitte helft mir auf die Sprünge.
Herzlichen Dank!
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> Sei K ein Körper und n ∈ [mm]\IN[/mm]
> a) Für welche a ∈ K ist [mm]V_a[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm](v_1,...,v_n)[/mm] ∈ [mm]K^n[/mm]
> | [mm]\summe_{i=1}^{n} v_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
=a} ein Untervektorraum von [mm]K^n?[/mm]
>
> b) Bestimmen sie für diese a jeweils eine Basis und die
> Dimension von Va.
> Hallo,
>
> ich verstehe hier nicht ganz, ob die [mm]v_i[/mm] (und somit die v)
> Einträge EINES Vektors sind oder n verschiedene Vektoren.
Hallo,
ersteres.
In [mm] V_a [/mm] sind die Vektoren, deren Einträge summiert a ergeben.
>
> Wenn es Einträge sind, dann ist mir die a) klar, dann
> stimmt das nur für a = [mm]0_K,[/mm]
Genau.
> verstehe ich nicht, wie
> ich an die b) herangehen soll.
In [mm] V_0 [/mm] sind die Vektoren [mm] v=\vektor{v_1\\\vdots\\v_n} [/mm] die von der Bauart
[mm] \vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{v_1\\\vdots\\v_{n-1}\\-v_1-v_2-...-v_{n-1}}=v_1*\vektor{1\\0\\\vdots\\0\\-1}+v_2*\vektor{\vdots\vdots\vdots}+...+v_{n-1}*\vektor{\vdots\vdots\vdots}
[/mm]
sind.
Nun siehst Du, welche Vektoren [mm] V_0 [/mm] erzeugen, und damit ist eine Basis nicht weit.
LG Angela
Denn dann wäre ja die oben
> gegebene Menge bereits eine Basis von [mm]V_a[/mm] und immer
> eindimensional. Allerdings kann ich ja recht viele linear
> unabhängige Vektoren finden, deren Wertesumme 0 ergibt,
> also eben für jedes n (und a = 0): [mm]\vektor{1 \\ -1/n \\ ... \\ -1/n}[/mm]
> und dann die 1 an jeder Stelle, also n Möglichkeiten.
>
> Ich habe irgendwie das Gefpühl ganz schön auf dem Holzweg
> zu sein.
> Bitte helft mir auf die Sprünge.
>
> Herzlichen Dank!
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