Unstetigkeitspunkte < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mo 26.04.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Finden Sie die Unstetigkeitspunkte folgender Funktionen
1) f(x,y) = [mm] sin\bruch{1}{xy}
[/mm]
2) f(x,y) = [mm] \bruch{1}{sinxsiny} [/mm] |
Hallo,
wie man Unstetigkeitsstellen bei einfachen funktionen bestimmt, hatte ich eigentlich verstanden- doch nun haben wir ja 2 variablen- wie gehe ich da vor, um mich der nicht definierten stelle von "links" und "rechts" zu nähern?
Bei 1) würde ich ja (x,y) [mm] \not= [/mm] untersuchen müssen
Bei 2) [mm] (x,y)\not= k\pi
[/mm]
Macht man das auch mit Teilfolgen? Dann könnte ich bei 1) zB setzen lim [mm] f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}) [/mm] und erhalte lim sin [mm] n^{2}. [/mm] Für lim [mm] f(\bruch{1}{n}, \bruch{-1}{n}) [/mm] erhalte ich lim sin [mm] -n^{2}. [/mm] Muss ich noch mehr Fälle betrachten? Dies sind ja nur Beispiele.....Und wenn ich dort jeweils n gegen [mm] \infty [/mm] gehen lasse, was erhalte ich dann? Bin mir bei dem sin [mm] unsicher....\pm\infty? [/mm] Und damit eine Polstelle?
Und bei 2) weiß ich gar nicht...welche Folge kvg denn gegen [mm] k\pi?
[/mm]
besten dank schon einmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mo 26.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst ganze Kurven haben z. bsp Geraden hier, auf denen die fkt nicht stetig ist. Welche sind das hier?
Um Unstetigkeit zu beweisen reicht es eine Folge zu nehmen, bei der er GW nicht existiert. bzw. 2 folgen mit verschiedenem GW. Für Stetigkeit muss JEDE Folge zum elben GW konv. da nimmt man dann besser das [mm] \epsolon-\delta [/mm] kriterium.
sin(1/x) nimmt für x gegen 0 jeden Wert zwischen -1 und + 1 beliebig oft, an. d.h. du findest in jeder Umgebung von 0 Werte von sin(1/x) die 0, oder 1 odr-1 (und dazwischen) liegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Di 27.04.2010 | | Autor: | gigi |
> Hallo
> du kannst ganze Kurven haben z. bsp Geraden hier, auf
> denen die fkt nicht stetig ist. Welche sind das hier?
bei 1) x=0 oder y=0 und bei 2) sinx=0 bzw siny=0 und damit x/y= [mm] k\pi
[/mm]
> Um Unstetigkeit zu beweisen reicht es eine Folge zu
> nehmen, bei der er GW nicht existiert. bzw. 2 folgen mit
> verschiedenem GW. Für Stetigkeit muss JEDE Folge zum elben
> GW konv. da nimmt man dann besser das [mm]\epsolon-\delta[/mm]
> kriterium.
was ist denn das [mm] \delta-verfahren? [/mm] oder meinst du [mm] \epsilon-\delta
[/mm]
> sin(1/x) nimmt für x gegen 0 jeden Wert zwischen -1 und +
> 1 beliebig oft, an. d.h. du findest in jeder Umgebung von 0
> Werte von sin(1/x) die 0, oder 1 odr-1 (und dazwischen)
> liegen.
und was bedeutet das? dass ich keinen grenzwert finde und es divergiert? wie komme ich denn darauf, dass es zB eine polstelle sein könnte? dann brauche ich doch die "ergebnisse" [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty
[/mm]
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Di 27.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du die def. von Stetigkeit mal hinschreiben?
und dann zeigen das in jeder umgebung von 0 punkte leigen , so mit wert +1 und mit wert -1 z. Bsp- oder gib ne folge [mm] x_n,y_n [/mm] an, so dass die einen fktwerte immer 1, die anderen immer0 (oder -1) sind?
du willst ja unstetigkeit beweisen!
Wenn es eine Polstelle wre hättest du "bestimmte" Divergenz, also für x gegen 0 f(x) gegen [mm] \infty)
[/mm]
aber das ist ja egal, ob ne fkt nach [mm] \infty [/mm] geht, oder von links nach a von rechts nach -a geht, oder ob sie wie wild hin undherspringt ist doch egal, du willst doch einfach nur stetig oder unstetig?
Also ziege einfach für alle Punkte, für die es nicht stetig ist, die Unstetigkeit.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 27.04.2010 | | Autor: | gigi |
Ich soll wohl auch den charakter der unstetigkeitsstelle angeben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Di 27.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie fred sagte, soll hier wohl überlegt werden, ob f über sein definitionsgebiet hinaus, stetig ergänzt werden kann. Das solltest du deutlich schrieben. überall wo f definier ist ist es auch stetig. Wenn du nach Art der unstetigkeit gefragt wirst kannst du nicht "wohl auch" sagen sondern solltest die Aufgabe exakt definieren.
meist steht da was ob mam stetig ergänzen kann! Also gib die Aufgabe an, und sonst zeig eben ,dass kein GW existiert entweder weil er bestimmt divergiert, oder unbestimmt.
Grus leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Es muß mal gesagt werden: diese Aufgabe ist völlig sinnlos. Ich erläutere das für die Funktion
$f(x,y) = [mm] sin(\bruch{1}{xy}) [/mm] $
Der Definitionsbereich von f ist $D= [mm] \{(x,y) \in \IR^2: xy \ne 0 \}$
[/mm]
Als Hintereinanderausführung stetiger Funktionen ist f auf D stetig.
Ist nun [mm] $(x_0,y_0) \notin [/mm] D$, also [mm] x_0y_0=0, [/mm] so ist die Frage nach der Stetigkeit von f in diesem Punkt sinnlos, denn f ist in [mm] (x_0,y_0) [/mm] überhaupt nicht definiert.
diese Aufgabe ist genauso sinnlos wie die folgende:
Sei f(x) = x für x [mm] \in [/mm] (0,1). Frage ist f stetig in 0 ?
Die Frage ist bekloppt !! die Frage wird erst sinnvoll, wenn klar ist ob und wie f in 0 definiert ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 27.04.2010 | | Autor: | gigi |
aber wenn f in 0 nicht definiert ist, so kann ich doch trotzdem sagen, ob es für die stellen um 0 einen grenzwert gibt, oder?
ist das, was ich oben mit der nullfolge gemacht habe ganz falsch? was leite ich nun aus lim sin [mm] n^2 [/mm] für n gegen [mm] \infty [/mm] ab? ich finde stets werte zwischen -1 und 1, also kein grenzwert?
danke und gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> aber wenn f in 0 nicht definiert ist, so kann ich doch
> trotzdem sagen, ob es für die stellen um 0 einen grenzwert
> gibt, oder?
Klar kann man das, aber das ist eine andere Frage !
>
> ist das, was ich oben mit der nullfolge gemacht habe ganz
> falsch? was leite ich nun aus lim sin [mm]n^2[/mm] für n gegen
> [mm]\infty[/mm] ab? ich finde stets werte zwischen -1 und 1, also
> kein grenzwert?
Die Folge [mm] (sin(n^2)) [/mm] ist divergent, also hat f für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) keinen Grenzwert
FRED
>
> danke und gruß
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