Unstetigkeit Umkehrfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei
[mm] $f:=\begin{cases}x+2,\quad x < -2 \\ 0,\ \ \quad\quad x = 0\\ x-2, \quad x > 2\end{cases}$
[/mm]
mit Definitionsbereich [mm] $D_{f}:=\{x\in\IR:|x|>2\}\cup\{0\}$ [/mm] und bijektiv.
f ist stetig, [mm] f^{-1} [/mm] aber nicht. Wieso widerspricht dies nicht dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion? |
Hallo!
Ich wollte euch fragen, ob ihr mal einen kritischen Blick über meine Ideen werfen könntet:
Der Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion lautet:
"A kompakt. Die Funktion [mm] $f:A\to [/mm] B$ sei injektiv und stetig. Dann ist auch ihre Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}:B\to [/mm] A$ stetig."
Die Umkehrfunktion lautet:
[mm] $f:=\begin{cases}x-2,\quad x < 0 \\ 0,\ \ \quad\quad x = 0\\ x+2, \quad x > 0\end{cases}$
[/mm]
und ist unstetig in 0. Damit also ein Widerspruch mit Hilfe des Satzes erzeugt werden könnte, müsste ich ein kompaktes Intervall [mm] $A\subset D_{f}$ [/mm] finden, für das [mm] $0\in [/mm] B = f(A)$ ist.
Das geht aber nicht, weil ein kompaktes Intervall [mm] $A\subset D_{f}$ [/mm] entweder die Form $[a,b]$ mit $a < b < -2$ oder die Form $[c,d]$ mit $2 < c < d$ hat, da das Intervall [0,0] gar keines ist.
In beiden Fällen entsteht gemäß der Bijektivität der Funktion entweder das Intervall $B = f([a,b]) = [a+2,b+2]$ mit $b+2 < 0$, d.h. [mm] $0\notin [/mm] [a+2,b+2]$ oder das Intervall $B' = f([c,d]) = [c-2,d-2]$ mit $0 < c-2$, d.h. [mm] $0\notin [/mm] B'$.
Kann man das so schreiben, also ist das exakt genug? 
Wieso ist das Intervall [0] keines? Weil per Definition von $[a,b]$ auch $a < b$ sein muss, oder?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei
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> [mm]f:=\begin{cases}x+2,\quad x < -2 \\ 0,\ \ \quad\quad x = 0\\ x-2, \quad x > 2\end{cases}[/mm]
>
> mit Definitionsbereich [mm]D_{f}:=\{x\in\IR:|x|>2\}\cup\{0\}[/mm]
> und bijektiv.
> f ist stetig, [mm]f^{-1}[/mm] aber nicht. Wieso widerspricht dies
> nicht dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion?
> Hallo!
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> Ich wollte euch fragen, ob ihr mal einen kritischen Blick
> über meine Ideen werfen könntet:
>
> Der Satz über die Stetigkeit der Umkehrfunktion lautet:
>
> "A kompakt. Die Funktion [mm]f:A\to B[/mm] sei injektiv und stetig.
> Dann ist auch ihre Umkehrfunktion [mm]f^{-1}:B\to A[/mm] stetig."
>
> Die Umkehrfunktion lautet:
>
> [mm]f:=\begin{cases}x-2,\quad x < 0 \\ 0,\ \ \quad\quad x = 0\\ x+2, \quad x > 0\end{cases}[/mm]
>
> und ist unstetig in 0. Damit also ein Widerspruch mit Hilfe
> des Satzes erzeugt werden könnte, müsste ich ein
> kompaktes Intervall [mm]A\subset D_{f}[/mm] finden, für das [mm]0\in B = f(A)[/mm]
> ist.
>
> Das geht aber nicht, weil ein kompaktes Intervall [mm]A\subset D_{f}[/mm]
> entweder die Form [mm][a,b][/mm] mit [mm]a < b < -2[/mm] oder die Form [mm][c,d][/mm]
> mit [mm]2 < c < d[/mm] hat, da das Intervall [0,0] gar keines ist.
> In beiden Fällen entsteht gemäß der Bijektivität der
> Funktion entweder das Intervall [mm]B = f([a,b]) = [a+2,b+2][/mm]
> mit [mm]b+2 < 0[/mm], d.h. [mm]0\notin [a+2,b+2][/mm] oder das Intervall [mm]B' = f([c,d]) = [c-2,d-2][/mm]
> mit [mm]0 < c-2[/mm], d.h. [mm]0\notin B'[/mm].
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> Kann man das so schreiben, also ist das exakt genug?
Mir würde es genügen
>
> Wieso ist das Intervall [0] keines?
Es ist ein Intervall ("entartet"), aber solche Intervalle sind in pbigen Überlegungen nicht zugelassen
FRED
> Weil per Definition von
> [mm][a,b][/mm] auch [mm]a < b[/mm] sein muss, oder?
>
> Danke für Eure Hilfe,
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
dann vielen Dank für deine Antwort (und Bestätigung )!
Grüße,
Stefan
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