Unkorreliert / Unabhängig < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) A und B sind Zufallsvariablen mit Var(A) = Var(B). Leiten Sie daraus die Unkorreliertheit von
L = A+B und M = A-B her.
b) Zeigen Sie durch ein (einfaches) Beispiel, dass aus der Unabhängigkeit von A und B nicht die Unabhängigkeit von L und M folgt. |
Meine Lösung zu a):
Cov(L,M) = E(L*M)-E(L)*E(M) (Verschiebungssatz von Steiner)
= E[(A+B)*(A-B)]-E(A+B)*E(A-B)
= E(A²-B²)-E(A+B)*E(A-B)
= E(A²)-E(B²)-[E(A)+E(B)]*[E(A)-E(B)] (Linearität des EWs)
= E(A²)-E(B²)-[E(A)]²+[E(B)]²
= E(A²)-[E(A)]²-(E(B²)-[E(B)]²)
= Var(A) - Var(B) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Unkorreliertheit
Stimmt das so?
Bei b) fällt mir leider partout nichts ein, sodass ich für Hinweise dankbar bin.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruß
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 So 06.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
a) stimmt.
zu b), nimm Bernoulli-verteilte A und B.
ciao
Stefan
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Danke, Stefan, für die Antwort! Jedoch verstehe ich Teil b) noch nicht so richtig.
Also, dann nehme ich die Bernoulli-Verteilung:
Zufallsvar. A [mm] \sim Bern(p_1) [/mm] mit P(A=1) = [mm] p_1 [/mm] und P(A=0) = [mm] 1-p_1
[/mm]
Zufallsvar. B [mm] \sim Bern(p_2) [/mm] mit P(B=1) = [mm] p_2 [/mm] und P(B=0) = [mm] 1-p_2
[/mm]
Nach Annahme sind A und B unabhängig, d.h. es gilt
P(C [mm] \cap [/mm] D) = P(C)*P(D) für alle Ereignisse C und D.
Ich sehe jetzt nicht auf Anhieb, dass L = A+B und M = A-B abhängig sind. Kann mir das bitte jemand erläutern?
Danke für die erneute Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
was wären denn mögliche Ereignisse für L und M, für die Du die Formel überprüfen könntest?
ciao
Stefan
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Ok, dann habe ich mir folgendes überlegt:
Sei L = A+B = 1, M = A-B = 1 und zur Vereinfachung [mm] p_1 [/mm] = [mm] p_2 [/mm] = 0,5, dann gilt:
P(A+B=1 [mm] \cap [/mm] A-B=1) = P(A=1 [mm] \wedge [/mm] B=0) = P(A=1)*P(B=0) = 0,5*0,5 = 0,25
P(A+B=1) * P(A-B=1) = [P(A=0 [mm] \wedge [/mm] B=1) + P(A=1 [mm] \wedge [/mm] B=0)] * P(A=1 [mm] \wedge [/mm] B=0) = [0,5² + 0,5²] * 0,25 = 0,125
Also führen beide Berechnungen nicht zum selben Ergebnis [mm] \Rightarrow [/mm] Stochastische Abhängigkeit
Stimmt das so? Ich glaube, die Notation könnte verbesserungswürdig sein!
Gruß
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 10.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Die Frage ist für mich immer noch von Interesse.
Das sollten wir doch gemeinsam hinkriegen, oder?
Gruß
KErstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 15.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die Antwort ist richtig.
Einfacher geht's z.B. mit L=2. Ist L=2, so ist M automatisch 0, d.h. [mm] $M|\{L=2\}$ [/mm] ist noch nichtmal zufällig, es kann also auf keinen Fall [mm] $M\sim M|\{L=2\}$ [/mm] gelten. L=0 funktioniert ähnlich. Du hast Dir mit Abstand die schwerste Variante rausgesucht. =)
ciao
Stefan
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