Unitäre Matrix, Diagonalmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Schönen guten Abend.
Ich habe so meine Probleme mit unitären Matrizen und Diagonalmatrizen.
Komme selbst mit den Definitionen nicht so klar. Wird in den Lehrbüchern unserer Bib auch nur am Rande behandelt oder gleich als Grundlage vorausgesetzt. Nun verzweifel ich schon an folgender eigentlich simpler Aufgabe:
Zu
A= [mm] \pmat{ 1 & i \\ -i & 1 } [/mm] bestimme man eine unitäre Matrix U und eine Diagonalmatrix D mit [mm] D=U^H [/mm] A U.
Wie gehe ich denn hier vor?
Danke.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Di 15.12.2009 | | Autor: | kappen |
Hi :)
Ich weiß, dass der Thread alt ist, aber meine Frage passt perfekt hier rein.
Wieso sind denn die Spalten meiner Transformationsmatrix eigentlich die EV und in diesem Fall sogar die normierten EV?
Ich hatte hier jetzt ein Beispiel in [mm] R^2, [/mm] da brauchte ich die Vektoren nicht zu normieren, jetzt in C hingegen schon. Warum?
Im Grunde ist das doch ein Basiswechsel hier, oder? Mit dem Ziel eine Diagonalmatrix zu erhalten, da man mit ihr sehr einfach rechnen kann..korrekt?
Mfg und vielen Dank :)
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> Hi :)
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> Ich weiß, dass der Thread alt ist, aber meine Frage passt
> perfekt hier rein.
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> Wieso sind denn die Spalten meiner Transformationsmatrix
> eigentlich die EV und in diesem Fall sogar die normierten
> EV?
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> Ich hatte hier jetzt ein Beispiel in [mm]R^2,[/mm] da brauchte ich
> die Vektoren nicht zu normieren, jetzt in C hingegen schon.
> Warum?
> Im Grunde ist das doch ein Basiswechsel hier, oder? Mit
> dem Ziel eine Diagonalmatrix zu erhalten, da man mit ihr
> sehr einfach rechnen kann..korrekt?
>
> Mfg und vielen Dank :)
Hallo,
ja, die Diagonalisierung ist ein Basiswechsel.
Die gegebene Abbildung hat bzgl. einer Basis aus Eigenvektoren Diagonalgestalt.
Es findet also ein Basiswechsel von der Standardbasis zur Basis aus Eigenvektoren statt.
Wie Du sagst: mit der Diagonalmatrix kann man gut rechnen. Die Eigenbasis paßt besser zu der betreffenden linearen Abbildung.
Zur Normierung:
Für Diagonalisierung muß man das nicht tun.
Hier geht es aber noch einen Schritt weiter:
die zu bearbeitende Matrix ist hermitesch, was uns garantiert, daß sie sogar unitär diagonalisierbar ist.
Solch eine unitäre Transformationsmatrix U ist in der Aufgabenstellung gefordert - und deren Spalten sind nunmal normiert.
(Der Aufwand des Normierens lohnt sich an anderer Stelle: [mm] U^{-1}=\overline{U}^{T}. [/mm] )
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 22.12.2009 | | Autor: | kappen |
Danke für deine Antwort.
Dass das bei hermiteschen Matrizen gefordert ist, wusste ich nicht. Aber dann ist das okay. Dass es sich lohnt, habe ich bei der Inversen gesehen ;)
Ich glaub aber, ich hab den Basiswechsel noch nicht verstanden. Sind meine Spalten der Transformationsmatrizen immer die neue Basis der "verwandelten" Matrix (z.B. der Diagonalmatrix)?
Danke & Schöne Grüße.
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> Ich glaub aber, ich hab den Basiswechsel noch nicht
> verstanden. Sind meine Spalten der Transformationsmatrizen
> immer die neue Basis der "verwandelten" Matrix (z.B. der
> Diagonalmatrix)?
>
Hallo,
wenn Du einen Basiswechsel von einer Basis B in eine Basis C vollziehen willst, dann stehen in den Spalten der Transformationsmatrix die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C.
Bei einem Basiswechsel von der Eigenbasis in die Standardbasis hast Du also in den Spalten die Eigenvektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasis, was das Aufstellen dieser matrix sehr einfach macht, denn die Eigenvektoren hat man ja zuvor normalerweise ausgerechnet.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 03.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bestimme zunächst die Eigenwerte von $A$. Dies sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms [mm] $CP_A(t)$, [/mm] also von
[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] \det(A-tE_2) =\det \pmat{1-t & i\\ -i & 1-t} [/mm] = [mm] (1-t)^2-1$.
[/mm]
Es seien [mm] $\lambda_1,\lambda_2$ [/mm] die beiden Eigenwerte, also die Nullstellen dieses Polynoms. Bestimme die zugehörigen Eigenvektoren [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$. [/mm] Dies machst du, indem du die beiden linearen Gleichungssysteme
[mm] $(A-\lambda_iE_2)x_i=0$ [/mm] $(i=1,2)$
löst.
Normiere diese anschließend, schreibe sie als Spaltenvektoren in die Matrix $U$ und du bist fertig.
Versuche es bitte mal und melde dich mit deiner Rechnung wieder. 
Viele Grüße
Stefan
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Vielen Dank für die rasche Antwort.
Soweit ist mir dies klar.
Bereche das charakteristische Polynom.
Somit habe ich die Eigenwerte 0 und 2.
Daraus habe ich die Eigenvektoren x1 = [mm] \vektor{i \\ 1} [/mm] für eigenwert 2
und x2 = [mm] \vektor{-i \\ 1}.
[/mm]
damit stelle ich nun die Matrix [mm] \pmat{ i & -i \\ 1 & 1 } [/mm] auf.
Ist die richtig?
Was habe ich hiermit denn rausbekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 03.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Alles richtig, nur musst du die beiden Eigenvektoren noch normieren (hatte ich vergessen zu sagen, ich füge es gleich noch in meiner alten Antwort hinzu).
Jetzt rechne mal $U^HAU$ aus:
$U^HAU = [mm] \pmat{\frac{-i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}} \cdot \pmat{ 1 & i \\ -i & 1} \cdot \pmat{\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}}$.
[/mm]
Du wirst sehen, dass du genau deine Diagonalmatrix [mm] $D=\pmat{2 & 0 \\ 0 & 0}$ [/mm] enthältst, in deren Diagnaleinträgen die beiden Eigenwerte von $A$ stehen. Nun, das war das Ziel.
Viele Grüße
Stefan
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Eine Frage hierzu hätte ich noch:
Hab gedacht hermitesche Matrizen haben nur reelle koeffizienten in der Hauptdiagonalen.
[mm] U^H [/mm] stellt doch eine hermitesche Matrix dar oder lieg ich da ganz falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 03.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
[mm] $U^H$ [/mm] bedeutet doch dass [mm] $U^H [/mm] = [mm] \overline{U}^T$ [/mm] (wobei das T transponiert heißen soll und der Strich das konjugiert Komplexe der Matrix)
Ist nun eine Matrix hermitesch, so gilt doch $U = [mm] U^H$, [/mm] also
$U = [mm] \overline{U}^T$ [/mm] und das kann nur sein, wenn die Diagonaleinträge reell sind, weil gilt:
[mm] $\forall i\in [/mm] 1... k [mm] :u_{i,i} [/mm] = [mm] \overline{u_{i,i}}$ [/mm] und das kann nur wahr sein, wenn der Imaginärteil 0 ist, also die Diagonalelemente reell sind.
Gruß Micha 
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Vielen Dank für die raschen Antworten von Stefan und Micha!!!
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