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| Aufgabe | | Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] A=\pmat{ 1 & i & i \\ i & 1 & i \\ i & i & 1 }. [/mm] Finden Sie eine unitäre Matrix U [mm] \in \IC^{3x3}, [/mm] so dass U* A U eine Diagonalmatrix ist |
Hallo.
Normalerweise habe ich keine Probleme mit einer derartigen Rechenaufgabe, aber ich stehe hier völlig auf dem Schlauch aus mehreren Gründen:
(1) [mm] \lambda [/mm] repräsentiert im Allgemeinen ja die Eigenwerte, dementsprechend vermutlich auch hier. Nun verstehe ich nicht, wie [mm] \lambda [/mm] aus [mm] \IR [/mm] sein kann, wenn diese Matrix komplexe Eigenwerte hat.
Meine berechneten Eigenwerte lauten: [mm] \lambda_1=(1+2i) [/mm] und [mm] \lambda_2=\lambda_3 [/mm] = (1-i). Diese wären eindeutig aus [mm] \IC.
[/mm]
(2) Wenn ich nun die Eigenräume aufstelle zu den Eigenwerten, so sieht man sofort, dass die Eigenvektoren zu [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] nicht orthogonal sind.
[mm] Eig(A,\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})
[/mm]
[mm] Eig(A,\lambda_2)=span(\vektor{-1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0})
[/mm]
Dementsprechend kann ich auf diesem Wege keine unitäre Matrix finden, sodass U* A U eine Diagonalmatrix ist.
Ich kenne keinen anderen Weg um diese Matrix U zu bestimmen.
Ich weiß daher nicht, wie es weiter gehen sollte.
Lieben Gruß und mit der Hoffnung auf eine Hilfe,
Roughi
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> Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] und [mm]A=\pmat{ 1 & i & i \\ i & 1 & i \\ i & i & 1 }.[/mm]
> Finden Sie eine unitäre Matrix U [mm]\in \IC^{3x3},[/mm] so dass U*
> A U eine Diagonalmatrix ist
>
> (1) [mm]\lambda[/mm] repräsentiert im Allgemeinen ja die
> Eigenwerte, dementsprechend vermutlich auch hier.
Hallo,
die Aufgabenstellung mit diesem "Sei [mm] \lambda" [/mm] ist äußerst suspekt, denn [mm] \lambda [/mm] kommt nirgendwo in der Augabe mehr vor.
> Nun
> verstehe ich nicht, wie [mm]\lambda[/mm] aus [mm]\IR[/mm] sein kann, wenn
> diese Matrix komplexe Eigenwerte hat.
Das ist auch nicht zu verstehen.
Ich glaube, daß die Aufgabe eigentlich anders heißen sollte, etwa so:
"Sei [mm]a \in \IR[/mm] und [mm]A=\pmat{ 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 }.[/mm] Finden Sie..."
>
> Meine berechneten Eigenwerte lauten: [mm]\lambda_1=(1+2i)[/mm] und
> [mm]\lambda_2=\lambda_3[/mm] = (1-i). Diese wären eindeutig aus
> [mm]\IC.[/mm]
Die Eigenwerte sind richtig, und daran, daß sie aus [mm] \IC [/mm] sind, gibt's nichts zu deuteln.
Reell wären sie z.B. für [mm] \pmat{ 1 & i & i \\ -i & 1 & i \\ -i & -i & 1 }. [/mm] (hermitesch)
>
> (2) Wenn ich nun die Eigenräume aufstelle zu den
> Eigenwerten, so sieht man sofort, dass die Eigenvektoren zu
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm] nicht orthogonal sind.
Das nun wiederum ist kein echtes Problem.
Was nicht paßt, wird passend gemacht:
Deine Basis des zu [mm] \lambda_{2} [/mm] gehörenden Eigenraumes ist nicht orthogonal-dann orthogonalisiere sie halt!
LG Angela
> [mm]Eig(A,\lambda_1)=span(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})[/mm]
>
> [mm]Eig(A,\lambda_2)=span(\vektor{-1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0})[/mm]
>
> Dementsprechend kann ich auf diesem Wege keine unitäre
> Matrix finden, sodass U* A U eine Diagonalmatrix ist.
>
> Ich kenne keinen anderen Weg um diese Matrix U zu
> bestimmen.
> Ich weiß daher nicht, wie es weiter gehen sollte.
>
>
> Lieben Gruß und mit der Hoffnung auf eine Hilfe,
>
> Roughi
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Ich habe mir so etwas schon gedacht. Ich werde mal den Cheftutor fragen.
Weiterhin wäre das auch meine nächste Frage gewesen: darf man z.B. das Gram-Schmidt-Verfahren auf diese Basis aus Eigenvektoren anwenden.
Super! Echt vielen Dank. Hat mir sehr geholfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Fr 28.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe mir so etwas schon gedacht. Ich werde mal den
> Cheftutor fragen.
> Weiterhin wäre das auch meine nächste Frage gewesen:
> darf man z.B. das Gram-Schmidt-Verfahren auf diese Basis
> aus Eigenvektoren anwenden.
Na klar.
FRED
>
> Super! Echt vielen Dank. Hat mir sehr geholfen!
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