Ungleichungsumformung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 03.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Bei einem Beweis kommen folgende zwei Ungleichungen vor, die ich leider nicht nachvollziehen kann:
[mm] \left(\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{n^{i}}{i!}\right)^{\log(a)}>\left(\bruch{n^K}{K!}\right)^{\lg(a)}>n^{d+1} [/mm] für alle K mit [mm] $K\ge \bruch{d+1}{\log(a)}+1$ [/mm] und [mm]n>K![/mm].
Ich nehme an, der zweite Exponent ist ein Tippfehler in meiner gegebenen Lösung - es sollte dort wahrscheinlich ebenfalls [mm] \log(a) [/mm] heißen. Und statt d+1, meinte jemand, müsste dort d+3 stehen.
Ich verstehe beide Umformungen nicht, vielleicht könnte sie mir jemand möglichst genau erklären (auch, wie man auf das K kommt - da mach ich nämlich meistens irgendwas falsch...).
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> [mm]\left(\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{n^{i}}{i!}\right)^{\log(a)}>\left(\bruch{n^K}{K!}\right)^{\lg(a)}>n^{d+1}[/mm]
> für alle K mit [mm]K\ge \bruch{d+1}{\log(a)}+1[/mm] und [mm]n>K![/mm].
Zur ersten Ungleichung: Eine Reihe positiver Glieder ist natürlich größer als ein einzelner Summand der Reihe.
Zur zweiten Ungleichung:
Es gilt:
[mm] $\left( \frac{n^K}{K!} \right)^{\log(a)} \ge \left( \frac{n^{ \frac{d+1}{\log(a)} +1}}{K!} \right)^{\log(a)} [/mm] > [mm] \left( \frac{n^{ \frac{d+1}{\log(a)} +1}}{n} \right)^{\log(a)} [/mm] = [mm] \left( n^{ \frac{d+1}{\log(a)} }\right)^{\log(a)} [/mm] = [mm] n^{d+1}$.
[/mm]
Jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Stefan
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