Ungleichungen cos, cosh < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Di 10.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle x1,x2 [mm] \in [/mm] R die Unlgeichungen
a) | cos(x2) - cos(x1) | [mm] \le [/mm] | x2-x1|
b) | cosh(x2) - cosh(x1) | [mm] \le [/mm] | x2-x1|
gelten. |
Moin!
Keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll.
Ich könnte vielleicht eine Fallunterscheidung machen...
z.b.
1. x1 < x2
2. x1 = x2
3. x1 > x2
Wenn x1 = x2 ist dann
wäre
a) | cos(x2) - cos(x1) | [mm] \le [/mm] | x2-x1|
0 [mm] \le [/mm] 0 => erfüllt
b) | cosh(x2) - cosh(x1) | [mm] \le [/mm] | x2-x1|
0 [mm] \le [/mm] 0 => erfüllt
Aber wie ist es in den anderen Fällen?
Oder ist ein anderer Ansatz besser?
Danke & Gruß
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Hallo Hase,
das ganze zu zeigen ohne die Vorkenntnisse zu kennen, ist schon recht schwer, da man nicht weiss, was man verwenden darf / kann.
Am einfachsten geht es wie folgt:
zu a):
Die Ableitung von cosx ist Beschränkt durch 1, daraus folgt, dass cosx Lipschitz-stetig ist mit Lipschitz-Konstante 1, d.h.
[mm]|cos(x) - cos(y)| \le L|x-y|, L = 1[/mm]
Dann steht das da, was du zeigen willst.
zu b):
Nutze cosh(x) = cos(ix) und a), dann steht es auch schon da.
MfG,
Gono.
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