Ungleichungen Lösungsmenge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR [/mm] für:
a) | [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] | > [mm] \bruch{x}{x+1}
[/mm]
b) | |3-x| -2| [mm] \le [/mm] | x-1 | |
Naja nun soll ich da alle x [mm] \in \IR [/mm] bestimmen:
bei a) hab ich mir erstmal die Ungleichung einfach gemacht, in der Hoffnung, dass ich das so darf...
| [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] | > [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] | * (x+1)
[mm] \Rightarrow [/mm] | x * (x+1) | > x * (x+1) | ausmultipliziert
[mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + x | > [mm] x^2 [/mm] + x
Naja und nun kommt mein "Problem", denn ich könnte ja jetzt minus [mm] x^2 [/mm] auf beiden Seiten rechnen und noch minus x, dann hab ich 0 > 0 dastehen und das ist ja ein Widerspruch.
Wenn ich die Ungleichung so belasse und mir den Graphen betrachte, dann hat dieser eine Polstelle bei -1 und eine Nullstelle bei 0.
Aber nun weiß ich nicht weiter. Wie bestimme ich hier die Lösungsmenge? Ich muss ja eine Fallunterscheidung vornehmen...
Fall 1: x < -1
Fall 2: -1 < x < 0
Fall 3: x > 0
Und bei b) komm ich auf alle x [mm] \in \IR [/mm] erfüllen die Ungleichung. Aber das ist mir auch nur am Graphen aufgefallen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Di 06.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Betragsungleichungen und gleichungen musst du immer mit Fallunterscheidungen arbeiten. z,B
a) | $ [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $ | > $ [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $
[mm] \bruch{x}{x+1}>0 [/mm] wenn Z und N>0 oder beide <0
also du kannst die Betragsstriche weglassen wenn x>0 UND x#1>0
oder wenn x<0 Und x+1<0 dann steht da
$ [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $ > $ [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $
leicht zu sehen, dass das für kein x erfüllt ist also sind alle oben beschriebenen x nicht in der Lösungsmenge.
2. wenn $ [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $ <0 (for welche x ist das richtig? dann ersetzt du $ [mm] |\bruch{x}{x+1}| [/mm] $ durch $ [mm] -\bruch{x}{x+1} [/mm] $
wenn du wie du es machst mit (x+1) multipl musst du vorrausseten, dass x+1>0 falls x+1<0 dreht sich das > zeichen um: a<b |*-1 folgt -a>-b
auch bei b) brauchst du Fallunterscheidungen
finde die mal selbst raus!
Gruss leduart
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| Aufgabe | 2. Fall, wenn [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] < 0 : das dürfte dann 0 < x < -1 sein ?!
Und wie schreibe ich das dann auf? : - [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] > [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] |
Danke erstmal
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Hallo Thomas000,
> 2. Fall, wenn [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] < 0 : das dürfte dann 0 < x < -1 sein ?!
Du meinst $-1<x<0$ ...
> Und wie schreibe ich das dann auf? : - [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] > [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm]
Ja, das wäre im Falle $-1<x<0$ die zu lösende Ungleichung
> Danke erstmal
Gruß
schachuzipus
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Wenn ich diese Ungleichung lösen will, dann multipliziere ich mit (x+1)
und dann steht da doch:
- x > x ?
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Hallo nochmal,
> Wenn ich diese Ungleichung lösen will, dann multipliziere
> ich mit (x+1)
> und dann steht da doch:
>
> - x > x ?
Ja, denn $x+1>0$
Und weiter?
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | -x > x | +x
0 > 2x | :2
x < 0 ? |
Was hat das x+1 > 0 damit zu tun?
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Hallo, x<0 ist doch korrekt, jetzt bedenke die Fallunterscheidung, du hattest -1<x<0, somit bleibt für deine Lösungsmenge -1<x<0, Steffi
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| Aufgabe | b) | |3-x|-2 | [mm] \le [/mm] |x-1|
also ich müsste mir folgende fälle anschauen:
1) x < 1
2) 1 < x < 3
3) 3 < x < 5
4) x > 5
Korrekt soweit? |
OK. und nun mal zur b)
Aber wie is das mit den doppelten Betragsstrichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 06.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die doppelten Betragsstriche behandlst du wie die anderen: erst den einen auflösen, dann den anderen .
wenn 3>x hast du ja |1-x| da stehen wieder auflosen mit den 2 Fallunterscheidungen, 1-x>0 und 1-x<0 das zweite ist ja schon in 3>x enthalten
dann 3<x ...
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 06.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Das soll jetzt um Himmels willen nich böse gemeint sein, aber ich hab leider nich ganz deine Antwort verstanden. Also von der Grammatik her und von dem Ausdruck, vllt könntest du es noch einmal etwas genauer formulieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 06.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
lieb, dass du das so höflich ausdrückst! Ich weiss selbst nicht wie es zu dem vermurksten post kam. ich hab ihn editiert.
Gruss leduart
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also falls x < 3, dann |x-1|
1. Fall: x-1 > 0, dann 3-x-2 [mm] \le [/mm] x-1 | -x ; +1
[mm] \Rightarrow [/mm] 3-2x-1 [mm] \le [/mm] 0 |
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] x
Is das korrekt soweit?
2.Fall: x-1 < 0, dann -(-(3-x)-2) [mm] \le [/mm] -(x-1)
?
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Hallo, mache folgende Fälle:
Fall 1.
[mm] 3-x\ge0 [/mm] somit [mm] 3\ge [/mm] x
[mm] |3-x-2|\le|x-1|
[/mm]
[mm] |1-x|\le|x-1|
[/mm]
Fall 1.1.
[mm] 1-x\ge0 [/mm] somit [mm] 1\ge [/mm] x und [mm] x-1\ge0 [/mm] somit [mm] x\ge1
[/mm]
die Ungleichung ist also für x=1 zu untersuchen
[mm] 1-x\le [/mm] x-1
[mm] x\ge1
[/mm]
die 1 gehört also zur Lösungsmenge
Fall 1.2.
1-x<0 somit 1<x und [mm] x-1\ge0 [/mm] somit [mm] x\ge1
[/mm]
jetzt systematisch weiterarbeiten
Steffi
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Ok ich hoffe das folgende is dann systematisch so weitergeführt... =)
Fall 1.2: 1-x < 0 somit x > 1 und x-1 [mm] \ge [/mm] 0 somit x [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] -(1-x) [mm] \le [/mm] x-1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 0
So naja 0 kann ja nicht kleiner gleich 0 sein.
Fall 1.3: 1-x < 0 somit x > 1 und x-1 < 0 somit x < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] -(1-x) [mm] \le [/mm] -(x-1) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Naja nun ist das ja wieder die 1 oder?
Fall 1.4: 1-x [mm] \ge [/mm] 0 somit x [mm] \le [/mm] 1 und x-1 < 0 somit x < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 1-x [mm] \le [/mm] -(x-1) [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 0
Und da ham wir wieder Fall 2...
Und jetz käm ja der Fall zwei, dass 3-x [mm] \le [/mm] 0 wäre oder?
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Hallo,
Fall 1.2.
du hast korrekt x>1 und [mm] x\ge1, [/mm] bei Fall 1 steht noch [mm] 3\ge [/mm] x, es kommen also nur Zahlen in Frage, für die gilt [mm] 1
du kommst dann auf [mm] 0\le0, [/mm] ist eine korrekte Aussage, bedenke 0=0 steckt in kleiner/gleich auch mit für die Lösungsmenge haben wir also [mm] 1
Fall 1.3.
du hast korrekt begonnen
1-x<0 somit 1<x
x-1<0 somit x<1
damit hat sich dieser Fall erledigt, es gibt keine Zahl, die größer als 1 ist und (gleichzeitig) kleiner als 1 ist, damit hat sich die weitere Betrachtung von Fall 1.3. erledigt
Fall 1.4.
korrekt erkannt
halten wir fest, aus Fall 1.1. bis 1.4. haben wir für die Lösungsmenge [mm] 1\le [/mm] x [mm] \le3
[/mm]
jetzt Fall 2.
3-x<0 abarbeiten, somit x>3
Steffi
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Nur eine kurze Frage, wenn ich mir 3-x < 0 und somit x > 3 betrachte
muss ich da an der ungleichung was verändern?
Oder mach ich jetzt genauso |3-x-2| [mm] \le [/mm] |x-1| ?
Und wieviele Fälle gibt es?
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Hallo, du machst jetzt weiter mit
[mm] |-(3-x)-2|\le|x-1|
[/mm]
Steffi
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Ok. dann komme ich auf |-5+x| [mm] \le [/mm] |x-1|
Fall 2.1 : -5+x [mm] \ge [/mm] 0 somit x [mm] \ge [/mm] 5 und x-1 [mm] \ge [/mm] 0 somit x [mm] \ge [/mm] 1
Fall 2.2 : -5+x < 0 somit x < 5 und x-1 [mm] \ge [/mm] 0 somit x [mm] \ge [/mm] 1
Fall 2.3 : -5+x < 0 somit x < 5 und x-1 < 0 somit x < 1
Fall 2.4 : -5+x [mm] \ge [/mm] 0 somit x [mm] \ge [/mm] 5 und x-1 < 0 somit x < 1
? richtig so?
und 1 < x < 5 ?
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Hallo, deine Fälle sind korrekt, jetzt aber die Ungleichung weiter betrachten, nehme ich mal Fall 2.1.
der Fall 2 begann ja mit x>3, dazu kommt jetzt noch [mm] x\ge5 [/mm] und [mm] \ge1, [/mm] daraus folgt [mm] x\ge5, [/mm] zu lösen ist also jetzt
[mm] x-5\le [/mm] x-1
[mm] -5\le-1 [/mm] wahre Aussage, also gilt deine Ungleichung auch für [mm] x\ge5 [/mm]
arbeite nun 2.2., 2.3. und 2.4 ab
Steffi
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Ok also für Fall 2.1 ist die Lösung x [mm] \ge [/mm] 5
Fall 2.2 : x > 3, <5 und [mm] \ge [/mm] 1
wenn ich die Ungleichung löse, komme ich auf x [mm] \ge [/mm] 3
also wäre die Lösung 3 < x < 5
Fall 2.3: x > 3, <5 und < 1
damit hat sich der Fall erledigt, weil ja die Bedingung war größer 3
Fall 2.4: x > 3, [mm] \ge [/mm] 5 und < 1
auch dieser Fall ist ein Widerspruch.
Also wäre die Lösungsmenge: 3 < x < [mm] \infty
[/mm]
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Hallo, Fall 2 hast du wunderbar gelöst, halten wir noch einmal fest,
aus Fall 1 bekommst du für die Lösungsmenge: [mm] 1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3
aus Fall 2 bekommst du für die Lösungsmenge: 3<x
somit aus beiden Fällen: [mm] 1\le [/mm] x
Leider haben wir erst die Hälfte des Weges geschafft, es gibt noch Fall 3 und Fall 4, ich glaube du hast das Prinzip jetzt kapiert, ich bin so fair und zeige dir den ganz konkreten Fall, der zielführend ist, jetzt betrachten wir die rechte Seite der Ungleichung, dafür gibt es auch zwei Fälle,
Fall 3: [mm] x-1\ge0 [/mm] (lasse ich weg, bringt nichts für die Lösungsmenge)
Fall 4: x-1<0 somit x<1 (fällt dir jetzt schon etwas auf?)
[mm] ||3-x|-2|\le-(x-1)
[/mm]
[mm] ||3-x|-2|\le-x+1
[/mm]
Fall 4.1.:
[mm] 3-x\ge0 [/mm] somit [mm] x\le3
[/mm]
[mm] |3-x-2|\le-x+1
[/mm]
[mm] |1-x|\le-x+1
[/mm]
Fall 4.1.1.:
[mm] 1-x\ge0 [/mm] somit [mm] x\le1
[/mm]
du hast jetzt aus 4. die Bedingung x<1, aus 4.1. die Bedingung [mm] x\le3 [/mm] und aus 4.1.1. die Bedingung [mm] x\le1, [/mm] jetzt können wir für x<1 die Ungleichung aufstellen
[mm] 1-x\le-x+1
[/mm]
[mm] 1\le1 [/mm] wahre Aussage, bedenke wieder die Gleichheit
also erfüllt auch x<1 deine Ungleichung
somit erfüllen ALLE reellen Zahlen deine Ungleichung
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Ich danke dir vielmals.
Hab das Prinzip glaub nachvollzogen.
=)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Di 06.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Ungleichung erhalten bleiben soll, darfst du sie nur mit Faktoren >0 multipl.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Di 06.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Ah, ok... wäre x+1 < 0, dann hätt ich dürfen nicht damit multiplizieren, ok. Danke
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Hallo nochmal,
> Ah, ok... wäre x+1 < 0, dann hätt ich dürfen nicht damit
> multiplizieren, ok.
Doch, na klar darfst du das. Aber dann (also wenn es negativ wäre) würde sich das Ungleichungdzeichen umdrehen, zB.
[mm]2<3 \ \ \ \mid\cdot{}(-1)[/mm]
[mm]\Rightarrow -2 \ \red{>} -3[/mm]
> Danke
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mi 07.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Ist z [mm] \in \IR [/mm] so gilt:
|z|>z [mm] \gdw [/mm] z<0.
Also: | $ [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $ | > $ [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] $ [mm] \gdw \bruch{x}{x+1}<0.
[/mm]
Das kürzt die Sache ab !
FRED
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