Ungleichungen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 14.03.2013 | | Autor: | Lustique |
Hallo zusammen,
ich habe allgemeine Fragen zu zwei Arten von Abschätzungen, die mir erstmals in Beweisen aus dem Bereich der Maßtheorie aufgefallen sind. Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen:
Es geht um Beweise der folgenden Art:
Das erste Beispiel ist ein Ausschnitt aus einem Beweis aus "Maß- Und Integrationstheorie" von Elstrodt, 7. Auflage, S. 39:
[...]
Daher ist für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$
[mm] $\mu_F(]a, b])\leqslant \sum_{k=1}^\infty \mu_F(]a_k, b_k]) [/mm] + [mm] 2\varepsilon$
[/mm]
und folglich [mm] $\mu_F(]a, b])\leqslant \sum_{k=1}^\infty \mu_F(]a_k, b_k])$, [/mm] wie zu zeigen war.
Das zweite Beispiel ist aus demselben Buch, S. 32:
[...]
Für jedes [mm] $n\in \mathbb{N}$ [/mm] ist [mm] $\bigcup_{k=1}^n A_k \subset [/mm] B$, also [mm] $\sum_{k=1}^n \mu(A_k)\leqslant \mu(B)$. [/mm] Da diese Ungleichung für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] gilt, folgt d).
[...]
Und in d) geht es im Grunde genommen um den Beweis von [mm] $\sum_{k=1}^\infty \mu(A_k)\leqslant \mu(B)$, [/mm] wobei [mm] $\bigcup_{k=1}^\infty A_k \subset [/mm] B$.
Es ist mir klar, dass hierbei jeglicher Kontext fehlt, aber ich glaube in diesem Fall ist der für meine Frage nicht wichtig. (Beide Ausschnitte sind anscheinend leider nicht über Google Books zugänglich...)
Nun zu meiner Frage: Warum sind die genannten Beweisschritte erlaubt? Ich hatte sowas zuallererst bei Beweisen meines Dozenten an der Tafel gesehen und einfach gedacht, er hätte da etwas geschlampt, aber nachdem ich das auch noch in einem Buch gesehen habe, gehe ich mal davon aus, dass diese Schritte erlaubt sind, auch wenn ich nicht so recht verstehe warum.
Im ersten Beispiel wurde die Aussage doch ausdrücklich nur für [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gezeigt, dann aber doch gefolgert, dass sie auch für [mm] $\varepsilon [/mm] = 0$ gilt. Im anderen Beispiel wird eine Aussage für eine endliche Summe plötzlich zu einer Aussage zu einer unendlichen Summe. Irgendwie bereiten mir beide Schritte Unbehagen, denn selbst wenn man eine Aussage für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] gezeigt hat: [mm] $\infty\notin \mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $n<\infty \,\forall [/mm] n [mm] \in\mathbb{N}$, [/mm] oder nicht? Nur weil etwas für eine beliebig große/kleine Zahl gilt, gilt es doch nicht automatisch für [mm] $\infty$/0, [/mm] oder? (auch wenn es sich hier um Ungleichungen handelt)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Fr 15.03.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Nimm mal an, Du hast 2 Zahlen aund b und Dir ist bekannt, dass gilt:
a [mm] \le [/mm] b+ [mm] \varepsilon [/mm] für jedes (!) [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Mit [mm] \varepsilon \to [/mm] 0 folgt: a [mm] \le [/mm] b.
2. Nimm an, Du hast eine Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}a_n [/mm] mit Reihengliedern [mm] a_n \ge [/mm] 0.
Setze [mm] s_n:=a_1+...+a_n
[/mm]
Weiter ist Dir bekannt, dass [mm] (s_n) [/mm] beschränkt ist, etwa [mm] s_n \le [/mm] b für alle n.
Da [mm] (s_n) [/mm] wachsend ist, folgt aus dem Monotoniekriterium, dass [mm] (s_n) [/mm] konvergiert.
Dann haben wir [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}a_n= \limes_{n\rightarrow\infty}s_n \le [/mm] b.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Lustique |
Danke für deine Erläuterungen!
|
|
|
|
