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Hallo ich habe ein kleines Problem mit rolgender Aufgabe. Es geht so scheint es mir um quadratische ungleichungen. DIe AUfgabe lautet wie folgt:
[mm] \bruch{x+3}{x-1}\ge [/mm] x
Mein 1. Fall wäre jetzt gewesen: x-1<0 also x<1
[mm] \bruch{x+3}{x-1}\ge [/mm] x [mm] |\*(x-1)<0
[/mm]
[mm] x+3\ge [/mm] x(x-1)
[mm] x+3\ge x^2-x \Rightarrow x^2-2x-3\le [/mm] 0
Wenn ich das mit der p.q. Formel löse, erhalte ich die Lösung [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-1
[/mm]
Daraus folgt mein nächste Schritt nämlich [mm] (x-3<0)\cup(x+1>0)
[/mm]
Und daraus folgt [mm] (x<3)\cup(x>-1) [/mm] und daraus folgt -1<x<3 also [mm] L_1= [/mm] {-1;3}
Außerdem berechne ich hier jetzt noch [mm] (x-3>0)\cup(x+1<0)
[/mm]
Und daraus folgt [mm] (x>3)\cup(x<-1) [/mm] und das ist offensichtlich falsch
Mein 2. Fall wäre jetzt gewesen: x-1>0 also x>1
[mm] \bruch{x+3}{x-1}\ge [/mm] x [mm] |\*(x-1)>0
[/mm]
[mm] x+3\le [/mm] x(x-1)
[mm] x+3\le x^2-x \Rightarrow x^2-2x-3\ge [/mm] 0
Wenn ich das mit der p.q. Formel löse, erhalte ich die Lösung [mm] x_1=3 [/mm] und [mm] x_2=-1
[/mm]
Daraus folgt mein nächster Schritt nämlich [mm] (x-3<0)\cup(x+1<0)
[/mm]
Und daraus folgt [mm] (x<3)\cup(x<-1) [/mm] und daraus folgt x<-1<3 also [mm] L_2= [/mm] {- [mm] \infty [/mm] ;3}
Außerdem berechne ich hier jetzt noch [mm] (x-3>0)\cup(x+1>0)
[/mm]
Und daraus folgt [mm] (x>3)\cup(x>-1) [/mm] -1<3<x also [mm] L_3= [/mm] {-1; [mm] \infty [/mm] }
Wenn ich das alles vereinige dann hätte ich ja [mm] L_1\cupL_2\cupL_3 [/mm] Also
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich solche Ungleichungen anders berechnen soll. Mir aber bei der Vorgehensweise bzw. Mit meinem Ergebnis nicht so gnz sicher bin. Vielleicht schafft es ja mal jmd. von euch ein Blick drauf zu werfen. Wäre wirklich super. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Du hast es genau verkehrt rum gemacht. Bei der Multiplikation mit $(x-1) \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt.
Und bei der Multipliation mit $(x-1) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ gerade nicht ...
Gruß
Loddar
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Achso. Könntest du mir das vielleicht konkreter erklären???
Ich glaube ich habe mir das dann vielleicht falsch abgeschrieben. Also ich verstehe das jetzt so, dass z.B. [mm] <\*<=> [/mm] und [mm] >\*>=> [/mm] und [mm] <\*>=< [/mm] und [mm] >\*<=<
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Fr 04.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Da schmeißt Du etwas durcheinander. Das hat hier bei den Ungleichungen nichts mit den Rechenregeln "Plus mal Plus = Plus" usw. zu tun.
Denn dann müsstest Du auch immer das Vorzeichen von $(x+3)_$ untersuchen.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
Für Ungleichungen gilt die Rechenregel, dass sich durch Multiplikation oder Division mit einem negativen Wert / Term, das Ungleichheitszeichen umkehrt.
Gruß
Loddar
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Ja alles klar. heißt im Prinzip, dass wenn ich jedesmal mit < multipliziere, sich meine Ungleichheitszeichen ändern. Wenn ich mit > multipliziere, ändert sich nichts.
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Hallo domenigge135!
> Ja alles klar. heißt im Prinzip, dass wenn ich jedesmal mit
> < multipliziere, sich meine Ungleichheitszeichen ändern.
> Wenn ich mit > multipliziere, ändert sich nichts.
Wie kann man denn etwas mit "<" multiplizieren? Ich kann etwas mit 5 multiplizieren, da 5 eine Zahl ist, aber was ist denn "<"? Du musst, wie du ja auch gemacht hast, den Nenner untersuchen, und wenn dieser negativ ist, dann dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Irgendwo hatte ich da auch mal einen recht einfach verständlichen Beweis zu, der mir aber leider nicht mehr einfällt. Vorstellen kannst du dir das aber vielleicht mit der Ungleichung 1<2. Wenn du diese Ungleichung mit (-1) multiplizierst, hast du ja -1 und -2 da stehen, und es gilt natürlich, dass -2 kleiner ist als -1, also musst du < zu > machen: (-1)>(-2).
Vielleicht hilft dir auch ![[]](/images/popup.gif) das hier.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ja sorry habs kapiert. Jetzt verstehe ich es.
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