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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 08.11.2005 | | Autor: | worromot |
Bestätigen Sie durch indirekten Beweis die Ungleichung: Für reelle Zahlen a<0 gilt
[mm] \wurzel[3]{2a} [/mm] < 1+ [mm] \bruch{a}{3}
[/mm]
ich habe einen ansatz gefunden aber ich weiß nicht wie es weiter geht.
Erst potzenziere ich alles mit ^3 dann multipliziere ich die beide Terme mit 3 um [mm] \bruch{a}{3} [/mm] wegzubekommen und dann multipliziere ich beide Seiten aus.
komme dann auf 6a³ >= 27+27a+9a²+a³
Ist dass soweit richtig? Wie geht es weiter? Oder dreht sich dass Vorzeichen beim potenzieren um?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Di 08.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo worromot!
> Bestätigen Sie durch indirekten Beweis die Ungleichung: Für
> reelle Zahlen a<0 gilt
>
> [mm]\wurzel[3]{2a}[/mm] < 1+ [mm]\bruch{a}{3}[/mm]
>
> ich habe einen ansatz gefunden aber ich weiß nicht wie es
> weiter geht.
>
> Erst potzenziere ich alles mit ^3 dann multipliziere ich
> die beide Terme mit 3 um [mm]\bruch{a}{3}[/mm] wegzubekommen und
> dann multipliziere ich beide Seiten aus.
Hm, wenn du die [mm] $\br{a}{3}$ [/mm] weghaben willst, musst zu zuerst mit 3 multiplizieren und dann potenzieren!
> komme dann auf 6a³ >= 27+27a+9a²+a³
> Ist dass soweit richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die rechte Seite ist richtig, aber links steht doch: [mm] $(3*\wurzel[3]{2a})^3$ [/mm] Rechne nochmal nach!
> Wie geht es weiter? Oder dreht
> sich dass Vorzeichen beim potenzieren um?
Nein das Vorzeichen stimmt so, da du ja einen indirekten Beweis machen sollst, also das Gegenteil annehmen und zum Widerspruch führen.
Gruß taura
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Ich wollte einmal nachfragen, ob die Aufgabenstellung so wirklich korrekt ist!
Habe mal den indirekten Beweis angfangen, aber funktioniert nicht!
Setze mal a=-20 dann stimmt ja schon die Ausgangsgleichung nicht!
Wo steckt der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Di 08.11.2005 | | Autor: | worromot |
hallo
ich habe in der Aufgabenstellung geschreiben a<0 meinte aber a>0 für alle reellen Zahlen.
wäre nett wenn eine antwort auf meine obrige frage hättest.
MfG worromot
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mit a>0 geht's dann auch 
Beweis durch Widerspruch heißt ja, dass Du gerade das Gegenteil annimmst, von dem was Du zeigen möchtest und das zum Widerspruch führst. Soll heißen:
Annahme: $ [mm] \wurzel[3]{2a}$ $\geq$ [/mm] 1+ [mm] $\bruch{a}{3} [/mm] $ für a>0 reell.
multipl. beide Seiten mit 3 um das drittel wegzubekommen.
dann potenziere beide Seiten mit 3. Du erhälst folgendes:
54a [mm] $\geq$ 27+17a+9$a^2$+$a^3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] 0 [mm] $\geq$ $a^3$+9$a^2$-27a+27
[/mm]
Die Aussage, die sich ergibt:
die Funktion, [mm] f(a)=$a^3$+9$a^2$-27a+27 [/mm] liegt ganz unterhalb der x-Achse für a>0!
Die Funktion für a>0 sieht aber aus wie ne nach oben geöffnete Parabel, mit Tiefpunkt bei [mm] -3+3$\wurzel{2}$ [/mm] davor fallend, danach steigend also.
wenn Du das berechnest und so argumentierst, müsste es doch klappen!
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