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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Menge aller x [mm] \in \IR [/mm] mit |x| [mm] \le [/mm] 2x³ |
Hallo,
Ich habe versucht diese Betragsungleichung zu lösen, was man ja normalerweise mit Fallunterscheidungen macht.
also 1. Fall x [mm] \ge [/mm] 0
x < 2x³ | :2
0,5 x < x³
hier komme ich bereits nicht weiter. Ich bekomme das x ja nie allein auf eine Seite.
Was mache ich falsch?
vlg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR[/mm] mit |x| [mm]\le[/mm] 2x³
> Hallo,
>
> Ich habe versucht diese Betragsungleichung zu lösen, was
> man ja normalerweise mit Fallunterscheidungen macht.
ist ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> also 1. Fall x [mm]\ge[/mm] 0
>
> x < 2x³ | :2
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Es geht doch um $|x| [mm] \red{\;\le\;}2x^3$. [/mm] Also gehört da auch
$x [mm] \red{\;\le\;} 2x^3$
[/mm]
hin.
Wir konstatieren vorweg: Falls [mm] $x=0\,,$ [/mm] so ist $x [mm] \le 2x^3$ [/mm] wahr, also
[mm] $\{0\} \;\;\subseteq\;\; \IL_{\text{1. Fall}}$
[/mm]
> hier komme ich bereits nicht weiter. Ich bekomme das x ja
> nie allein auf eine Seite.
Im Folgenden können wir dann $0 [mm] \le [/mm] x$ und $x [mm] \not=0$ [/mm] annehmen, also $x > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann
$x [mm] \le 2x^3$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $1 [mm] \le 2x^2\,.$
[/mm]
(Beachte: Bei [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] wird durch $x > [mm] 0\,$ [/mm] geteilt, bei [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] wird mit
$x > [mm] 0\,$ [/mm] multipliziert!)
> Was mache ich falsch?
Wenn Du nun weitermachst, so solltest Du erkennen
[mm] $\IL_{\text{1. Fall}}=\{0\} \;\;\cup\;\; \left[\frac{1}{\sqrt{2}},\infty\right)$.
[/mm]
(Beachte bitte, dass $x [mm] \ge [/mm] 0$ in diesem Fall per Voraussetzung(!) gilt - es ist also
[mm] $\IL_{\text{1. Fall}} \;\;\subseteq \;\;[0,\infty)$ [/mm] - das weiß man, auch, wenn man sonst vielleicht [noch] nichts wüßte!)
Jetzt fehlt natürlich noch der
2.Fall: Sei [mm] $\blue{\mathbf{x < 0}}\,$
[/mm]
und dann [mm] $\IL_{\text{2. Fall}},$ [/mm] um insgesamt dann
[mm] $\IL=\IL_{\text{1. Fall}} \;\;\cup\;\; \IL_{\text{2. Fall}}$
[/mm]
zu bilden.
(Dabei ist [mm] $\IL:=\{x \in \IR:\;\; |x| \le 2x^3\}\,.$)
[/mm]
Wenn Du willst, kann man sich das formal so klarmachen:
[mm] $\IL=\{x \in \IR:\;\; |x| \le 2x^3\}=\underbrace{\{x \ge 0:\;\; |x| \le 2x^3\}}_{=:\IL_{\text{1. Fall}}} \;\;\cup\;\; \underbrace{\{x < 0:\;\; |x| \le 2x^3\}}_{=:\IL_{\text{2. Fall}}}.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
übrigens kann man im Falle $x [mm] \ge [/mm] 0$ auch so rechnen:
$|x| [mm] \;\le \; 2x^3$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \;\le\; 2x^3$
[/mm]
[mm] $\iff$ $2x^3-x \ge [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $x*(2x^2-1) \ge 0\,.$
[/mm]
Und dann nochmal weiter überlegen ... auch das ist eine "beliebte" Vorgehensweise!
Gruß,
Marcel
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