Ungleichung zweier Summen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich steh bei folgender Aufgabe an:
(1+ [mm] \bruch{1}{n} )^{n} \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
gut, die linke seite kann ich auch so anschreiben (Binomischer Lehrsatz):
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] * [mm] 1^{n-k}* (\bruch{1}{n})^{k}
[/mm]
das ganze ausgerechnet:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^{k}}
[/mm]
wie rechne ich nun mit der linken (bzw. rechten) Seite weiter?
Vielen Dank
mistermoon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Das ist schon alles richtig, was du gemacht hast. Du kannst dir das Leben aber noch ein wenig leichter machen, indem du schaust, ob jeder Summand auf der linken Seite kleiner als der auf der rechten Seite ist, also, ob:
[mm] $\vektor{n\\ k}\cdot \frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{k!}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{k!}$
[/mm]
So, und nun multipliziere ein wenig aus, sodass du sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite ein Produkt mit $k$ Faktoren hast. Die vergleichst du dann und wirst feststellen, dass die Behauptung folgt.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo!
Danke erstmal für die schnelle Antwort!
Wenn ich das nun löse komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm] \bruch{n!}{k!} \le n^{k}
[/mm]
Soll ich das jetzt mit Induktion beweisen??? Oder geht das einfacher?
Danke,
mistermoon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Wie bist du auf dieses Ergebnis gekommen? Du hast folgenden Term:
[mm] $\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\cdot n^k\leq \frac{1}{k!}$
[/mm]
Das $k!$ fällt nach Multiplikation beidseitig weg und nach anschließender Multiplikation mit [mm] $n^k$ [/mm] erhältst du:
[mm] $\gdw \frac{n!}{(n-k)!}\leq n^k$
[/mm]
[mm] $\gdw \left( \frac{n}{n} \right) \cdot \left( \frac{n}{n-1} \right) \cdot \left( \frac{n}{n-2} \right) \cdots \left( \frac{n}{n-k} \right)\leq \overbrace{n\cdot n\cdots n}^{k\ Mal}$
[/mm]
Fällt dir nun etwas auf?
Liebe Grüße,
Hanno
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Ich bin so drauf gekommen:
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!*n^{k}} \le \bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n! * [mm] \bruch{1}{n^{k}} \le [/mm] (n-k)!
[mm] \gdw [/mm] (1*2*...*n) * [mm] \bruch{1}{n^{k}} \le [/mm] (1*2*....*(n-k))
dann kürzt sich das weg:
((n-k)*...*n) * [mm] \bruch{1}{n^{k}} \le [/mm] 1
und ((n-k)*...*n) = [mm] \bruch{n!}{k!} [/mm] also:
[mm] \bruch{n!}{k!} \le n^{k}
[/mm]
Wahrscheinlich steh ich nur ziemlich auf der Leitung, denn ich weiß noch immer nicht was du sagen willst...
Lg mistermoon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mister!
Oh, da muss ich mich entschuldigen, dein Ergebnis war ja völlig richtig, genau so wie meines, ich habe es bloß nicht gesehen - es tut mir leid.
Dann werde ich dich jetzt mal von deinem Leid erlösen und dir hoffentlich einen kleinen "aha"-Effekt zukommen lassen 
Du hast richtig gezeigt, dass die Aussage äquivalent zu
[mm] $\frac{n!}{k!}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k)\leq n^k$
[/mm]
ist.
Auf der linken Seite stehen nun die Faktoren n,n-1,n-2,...,n-k, insgesamt also k Stück, auf der rechten Seite die Faktoren n,n,n,...,n, insgesamt auch k. Wie man sieht, sind alle Faktoren auf der linken Seite kleiner oder gleich denen der rechten Seite - also muss die linke Seite kleiner als die Rechte sein.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 20.11.2004 | | Autor: | mistermoon |
Vielen Dank für Deine Hilfe!
Da war ich ja schon ganz schön knapp dran
Lg Chris (mistermoon)
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