Ungleichung zeigen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Puppet |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass für a,b [mm] \in \IR [/mm] mit b - a > 1 ein z [mm] \in \IZ [/mm] existiert so, dass gilt:
a < z < b |
Hallo Matheraum,
ich weiß bei dieser Aufgabe nicht ganz wie ich anfangen soll.
Da b - a > 1 muss ja a < b sein, aber wie bekommen ich dort das z [mm] \in \IZ [/mm] hinein?
Lg Puppet
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Laut Aufgabe existiert ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $1+\varepsilon=b-a$. [/mm] Nun kannst du stückweise abschätzen:
[mm] $a<\ldots
und es sollte dastehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Tut mir leid aber so richtig weiß ich noch nicht weiter.
Bis jetzt habe ich nur $ [mm] 1+\varepsilon=b-a [/mm] $ umgestellt auf a < [mm] -1-\bruch{\varepsilon}{2}+b [/mm] und das ist wiederum < b.
MIr ist auch nicht ganz klar was am Ende stehen muss um zu zeigen das es das [mm] z\in\IZ [/mm] gibt.
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Hallo Puppet,
das ist nicht zielführend.
> Tut mir leid aber so richtig weiß ich noch nicht weiter.
>
> Bis jetzt habe ich nur [mm]1+\varepsilon=b-a[/mm] umgestellt auf a <
> [mm]-1-\bruch{\varepsilon}{2}+b[/mm] und das ist wiederum < b.
Na schön. Aber Du kannst nicht sicherstellen, dass in der Mitte der Ungleichungskette eine ganze Zahl steht. Darum geht es doch aber.
> MIr ist auch nicht ganz klar was am Ende stehen muss um zu
> zeigen das es das [mm]z\in\IZ[/mm] gibt.
Machs Dir mal anschaulich, mit einem Stück Zahlenstrahl, auf dem die ganzen Zahlen markiert sind. Dann nimm einen Zettel (bzw. eine Strecke), der wenig mehr als eine Einheit lang ist und lege ihn irgendwo auf dem Zahlenstrahl ab. Offensichtlich kommt er dabei auf mindestens einer Markierung zu liegen.
Nehmen wir an, der Zettel sei 1,1 Einheiten lang. Damit wissen wir $b=a+1,1$.
Sei nun a=0,9. Dann ist b=2 und z=1.
Für a=0,95 ist b=2,05 und sowohl z=1 als auch z=2 sind möglich.
Für a=1 ist b=2,1 und z=2.
Kennst Du obere und untere Gaußklammern? 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mi 13.11.2013 | | Autor: | wieschoo |
Die Grundidee ist doch sicherlich die Aussage auf:
"In dem Intervall [mm][0,1+\varepsilon][/mm] mit [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert eine ganze Zahl."
zurück zuführen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tut mir leid aber so richtig weiß ich noch nicht weiter.
>
> Bis jetzt habe ich nur [mm]1+\varepsilon=b-a[/mm] umgestellt auf a <
> [mm]-1-\bruch{\varepsilon}{2}+b[/mm] und das ist wiederum < b.
> MIr ist auch nicht ganz klar was am Ende stehen muss um zu
> zeigen das es das [mm]z\in\IZ[/mm] gibt.
naja, ich denke, dass das so gedacht war:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ mit [mm] $b-a=1+\epsilon\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $(\*)$ [/mm] $a < a+1 < [mm] 1+a+\epsilon=b\,.$
[/mm]
Nun definiere
[mm] $u:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a+1\}\,.$
[/mm]
1. Warum existiert solch ein [mm] $u\,$ [/mm] überhaupt?
2. Klar ist, dass $u [mm] \le [/mm] b$ (nach Definition und unter Beachtung von [mm] $(\*)$). [/mm] Es bleibt
also, $u > [mm] a\,$ [/mm] zu beweisen:
Wäre aber $u [mm] \le a\,,$ [/mm] so müßte per Definitionem von [mm] $u\,$ [/mm] folgen, dass
$u+1 > [mm] a+1\,.$
[/mm]
(Wäre nämlich [mm] $u+1\;\le\;a+1\,,$ [/mm] so wäre [mm] $\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a+1\} \ge [/mm] u+1$ - beachte, dass hier
$u+1 [mm] \in \IZ$ [/mm] wegen $u [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt!)
Also:
$u [mm] \le [/mm] a$ liefert $u+1 > [mm] a+1\,,$
[/mm]
und mit
$u+1 > [mm] a+1\,$ $\iff$ [/mm] $u > [mm] a\,$
[/mm]
erhalten wir dann, dass simultan
$u [mm] \le [/mm] a$ und $u > [mm] a\,$
[/mm]
gelten müßte. Widerspruch. Also kann $u [mm] \le a\,$ [/mm] nicht gelten und damit muss $u > [mm] a\,$
[/mm]
wahr sein.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Hallo,
>
> > Tut mir leid aber so richtig weiß ich noch nicht weiter.
> >
> > Bis jetzt habe ich nur [mm]1+\varepsilon=b-a[/mm] umgestellt auf a <
> > [mm]-1-\bruch{\varepsilon}{2}+b[/mm] und das ist wiederum < b.
> > MIr ist auch nicht ganz klar was am Ende stehen muss um
> zu
> > zeigen das es das [mm]z\in\IZ[/mm] gibt.
>
> naja, ich denke, dass das so gedacht war:
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]b-a=1+\epsilon\,.[/mm] Dann gilt
>
> [mm](\*)[/mm] [mm]a < a+1 < 1+a+\epsilon=b\,.[/mm]
>
> Nun definiere
>
> [mm]u:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le a+1\}\,.[/mm]
>
> 1. Warum existiert solch ein [mm]u\,[/mm] überhaupt?
>
> 2. Klar ist, dass [mm]u \le b[/mm] (nach Definition und unter
> Beachtung von [mm](\*)[/mm]). Es bleibt
> also, [mm]u > a\,[/mm] zu beweisen:
man kann hier auch "direkter" einen Widerspruch erzeugen als den, den
ich eben erzeugte:
Angenommen, es wäre doch [mm] $\IZ \ni [/mm] u [mm] \le a\,.$ [/mm] Dann folgt ja sofort
[mm] $\IZ \ni [/mm] u+1 [mm] \le a+1\,.$
[/mm]
Damit muss aber
[mm] $\max\red{\{z \in \IZ:\;\;z \le a+1\}}\;\ge\;\red{u+1}$ [/mm] (weil ja [mm] $u+1\,$ [/mm] in der roten Menge liegt! )
sein, also
$u [mm] \ge u+1\,.$
[/mm]
Widerspruch! (Wobei es da auch keine großen Unterschiede zu eben gibt.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen sie, dass für a,b [mm]\in \IR[/mm] mit b - a > 1 ein z [mm]\in \IZ[/mm]
> existiert so, dass gilt:
> a < z < b
es sei
[mm] $m:=\max\{u \in \IZ:\;\;u \;\;\le\;\; a\}=\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor\,.$
[/mm]
1. Warum hat
[mm] $\{u \in \IZ:\;\;u \le a\}$
[/mm]
überhaupt ein Maximum?
2. Begründe:
Betrachte
[mm] $z:=m+1\,$ ($=\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor+1$). [/mm]
Zunächst ist [mm] $a\;\;<\;\;z\;\;\le\;\;a+1$: [/mm] Beweise das bitte!
3. Behauptung: Es ist $z [mm] \;\;<\;\; b\,.$ [/mm] Denn nach Voraussetzung und unter Beachtung
von 2. folgt
[mm] $b-z\;=\;b-a+a-z\;>\;1+\underbrace{a-z}_{\ge -1 \text{ nach 2.}} \ge 1+(-1)\;=\;0\,.$
[/mm]
4. Fazit?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Vielen Dank für die vielen Beiträge.
Ich versuche es mal mit Marcels Anleitung.
es sei
$ [mm] m:=\max\{u \in \IZ:\;\;u \;\;\le\;\; a\}=\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor\,. [/mm] $
1.
$ [mm] \{u \in \IZ:\;\;u \le a\} [/mm] $ hat ein Maximum da es nach oben beschränkt ist und die obere Schranke in [mm] \IN [/mm] liegt.
2. Betrachte
$ [mm] z:=m+1\, [/mm] $ ($ [mm] =\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor+1 [/mm] $).
Aus $ [mm] z:=m+1\, [/mm] $ und $ [mm] m:=\max\{u \in \IZ:\;\;u \;\;\le\;\; a\}=\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor\, [/mm] $ gilt a < z, denn falls u=a ist m + 1 [mm] \ge [/mm] 0. Für u < a weiß ich nicht so genau. (Probiere ich morgen nochmal).
z [mm] \le [/mm] a + 1 folgt aus u = a, dann ist z = a + 1 und falls u<a muss z = u + 1 und aus u < a folgt z [mm] \le [/mm] a + 1
3. Behauptung: Es ist $ z [mm] \;\;<\;\; b\,. [/mm] $ Denn nach Voraussetzung und unter Beachtung
von 2. folgt
$ [mm] b-z\;=\;b-a+a-z\;>\;1+\underbrace{a-z}_{\ge -1 \text{ nach 2.}} \ge 1+(-1)\;=\;0\,. [/mm] $
4. Fazit
Für a,b $ [mm] \in \IR [/mm] $ mit b - a > 1 existiert ein z $ [mm] \in \IZ [/mm] $
so, dass gilt:
a < z < b
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die vielen Beiträge.
>
> Ich versuche es mal mit Marcels Anleitung.
>
> es sei
>
> [mm]m:=\max\{u \in \IZ:\;\;u \;\;\le\;\; a\}=\lfloor a \rfloor\,.[/mm]
>
> 1.
> [mm]\{u \in \IZ:\;\;u \le a\}[/mm] hat ein Maximum da es nach oben
> beschränkt ist und die obere Schranke in [mm]\IN[/mm] liegt.
das stimmt so nicht:
[mm] $\{1-1/n:\;\; n \in \IN\}$
[/mm]
ist auch nach oben beschränkt, und die "kleinste(!)" obere Schranke dieser
Menge liegt in [mm] $\IN,$ [/mm] denn das Supremum der letzten Menge ist [mm] $1\,.$ [/mm] Aber [mm] $1\,$ [/mm]
gehört nicht zu der Menge... Abgesehen davon frage ich mich, wieso Du hier
plötzlich zu [mm] $\IN$ [/mm] springst... (Die größte ganze Zahl [mm] $\le [/mm] -10,5$ wäre $-11 [mm] \notin \IN$)...
[/mm]
Schlag lieber nochmal nach: Jede nach oben beschränkte Menge ganzer
Zahlen hat ein Maximum! (Dass jede ein Supremum hat, ist klar, weil...?)
> 2. Betrachte
>
> [mm]z:=m+1\,[/mm] ([mm] =\lfloor a \rfloor+1 [/mm]).
>
> Aus [mm]z:=m+1\,[/mm] und [mm]m:=\max\{u \in \IZ:\;\;u \;\;\le\;\; a\}=\lfloor a \rfloor\,[/mm]
> gilt a < z, denn falls u=a ist m + 1 [mm]\ge[/mm] 0.
[mm] $u\,$ [/mm] heißen die Elemente der genannten Menge - ich habe da kein [mm] $u\,$ [/mm] definiert.
Die Logik ist hier die (ich sag's mal im Wesentlichen nur in Worten):
Es muss $a < [mm] z\,$ [/mm] gelten: Nach Definition von $m$ ist $m [mm] \in \IZ$ [/mm] die größte
ganze Zahl, die [mm] $\le a\,$ [/mm] ist. Dann ist [mm] $m+1\,$ [/mm] auch eine ganze Zahl. Wäre
nun $a [mm] \ge z\,,$ [/mm] so wäre $a [mm] \ge m+1\,,$ [/mm] d.h., [mm] $m+1\,$ [/mm] wäre eine ganze Zahl,
die [mm] $\le [/mm] a$ ist. Dann kann aber wegen $m < [mm] m+1\,$ [/mm] die Zahl [mm] $m\,$ [/mm] doch nicht
die größte ganze Zahl, die [mm] $\le [/mm] a$ ist, gewesen sein...
> Für u < a
> weiß ich nicht so genau. (Probiere ich morgen nochmal).
> z [mm]\le[/mm] a + 1 folgt aus u = a, dann ist z = a + 1 und falls
> u<a muss z = u + 1 und aus u < a folgt z [mm]\le[/mm] a + 1
Wie gesagt: Das macht so keinen Sinn!
> 3. Behauptung: Es ist [mm]z \;\;<\;\; b\,.[/mm] Denn nach
> Voraussetzung und unter Beachtung
> von 2. folgt
>
> [mm]b-z\;=\;b-a+a-z\;>\;1+\underbrace{a-z}_{\ge -1 \text{ nach 2.}} \ge 1+(-1)\;=\;0\,.[/mm]
>
> 4. Fazit
>
> Für a,b [mm]\in \IR[/mm] mit b - a > 1 existiert ein z [mm]\in \IZ[/mm]
> so,
> dass gilt:
> a < z < b
Ja, denn wir haben gesehen:
Setzen wir [mm] $z:=\lfloor [/mm] a [mm] \rfloor +1\,,$ [/mm] so gilt $z [mm] \in \IZ$ [/mm] und
sowohl
$a < [mm] z\,$
[/mm]
als auch
$z < [mm] b\,.$
[/mm]
Das ist die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 14.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Vielen Dank nochmal.
Zu 1. Eigentlich wollte ich statt [mm] \IN, \IZ [/mm] schreiben.
$ [mm] \{u \in \IZ:\;\;u \le a\} [/mm] $ ist nach oben beschränkt, wenn ich es richtig verstanden habe, weil u [mm] \le [/mm] a oder? Denn u [mm] \in \IZ [/mm] und a [mm] \IZ \IR. [/mm] Somit wäre a die obere Schranke. Das Supremum wäre ja dann u falls für jede Obere Schranke gilt u [mm] \le [/mm] a.
Zu 2. Deine Beschreibung müsste doch dann nur noch weitergehen mit :
Da m aber als größte ganze Zahl die $ [mm] \le [/mm] a $ definiert ist muss $ a < [mm] z\, [/mm] $ gelten. Richtig so?
Zu 3.
Es ist mir noch nicht ganz klar wie du von [mm] \;b-a+a-z\; [/mm] auf > [mm] \;1+\underbrace{a-z}_{\ge -1 \text{ nach 2.}} [/mm] kommst.
Wäre nett wenn ich noch einmal Hilfe bekomme.
LG Puppet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank nochmal.
>
> Zu 1. Eigentlich wollte ich statt [mm]\IN, \IZ[/mm] schreiben.
> [mm]\{u \in \IZ:\;\;u \le a\}[/mm] ist nach oben beschränkt,
ja, eben offensichtlich durch [mm] $a\,$
[/mm]
> wenn
> ich es richtig verstanden habe, weil u [mm]\le[/mm] a oder?
Jedes [mm] $u\,$ [/mm] der Menge ist [mm] $\le a\,.$
[/mm]
> Denn u
> [mm]\in \IZ[/mm] und a [mm]\IZ \IR.[/mm]
???
> Somit wäre a die obere Schranke.
"Die" obere Schranke macht keinen Sinn. [mm] $a\,$ [/mm] ist EINE obere Schranke für obige
Menge.
> Das Supremum wäre ja dann u
???
> falls für jede Obere Schranke gilt u [mm]\le[/mm] a.
???
Die obige Menge hat ein Supremum, das ist klar, weil sie Teilmenge von [mm] $\IR$
[/mm]
und nach oben beschränkt ist. Nicht klar ist, dass das Supremum auch in
der Menge liegt (das ist die Definition von "Maximum" -> nachgucken!).
Wie gesagt: Ich habe Dir gesagt, was Du dazu nachschlagen sollst...
> Zu 2. Deine Beschreibung müsste doch dann nur noch
> weitergehen mit :
> Da m aber als größte ganze Zahl die [mm]\le a[/mm] definiert ist
> muss [mm]a < z\,[/mm] gelten. Richtig so?
Das habe ich doch geschrieben: Wir hatten [mm] $m\,$ [/mm] als größte ganze Zahl [mm] $\le [/mm] a$
definiert. Dann ist [mm] $m+1\,$ [/mm] auch eine ganze Zahl - sie kann aber nicht [mm] $\le [/mm] a$
sein, denn es ist $m+1 > [mm] m\,,$ [/mm] und damit wäre $m+1$ auch eine ganze Zahl
[mm] $\le a\,,$ [/mm] also könnte [mm] $m\,$ [/mm] nicht die größte ganze Zahl [mm] $\le [/mm] a$ gewesen sein.
Dieser Widerspruch läßt sich nur auflösen, wenn wir die Annahme $m+1 [mm] \le [/mm] a$
verwerfen - also muss $m+1 > [mm] a\,,$ [/mm] also $m+1=:z > [mm] a\,$ [/mm] gelten!
>
> Zu 3.
>
> Es ist mir noch nicht ganz klar wie du von [mm]\;b-a+a-z\;[/mm] auf
> > [mm]\;1+\underbrace{a-z}_{\ge -1 \text{ nach 2.}}[/mm] kommst.
Nach Voraussetzung war doch
$b-a > [mm] 1\,,$
[/mm]
also ist
$b-a+a-z > 1+(a-z)$...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Do 14.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Ok, vielen Dank.
Ich werde mich mit dem Thema wohl noch etwas auseinandersetzen müssen.
LG Puppet
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