Ungleichung von Tschebyscheff < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Do 16.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Eine Hotelkette hat eine Bettenkapazität von 850 Betten. Die Planung der Hotelkette hinsichtlich der längerfristigen Buchungen in der Urlaubszeit soll mit einer Abweichung von 5% und einer Wahrscheinlichkeit von 95% genau bestimmt werden. Mit welcher Auslastung kann die Kette innerhalb des O-Intervalls rechnen, wenn die Bettenkapazität erhöht werden kann? |
Guten Tag.
Die Ungleichung von Tschebyscheff (wenn ich sie direkt aus meinem Buch übernehme), lautet:
P(|X-E(X)| [mm] \gec) \le \bruch{o^2}{c^2}
[/mm]
Nun würde ich für dieses P(..) eben 0,95 einsetzen. das o ist gesucht.
Das c sind fünf Prozent.
Also
0,95 [mm] \le \bruch{o^2}{0,05^2} [/mm] /* [mm] {0,05^2}
[/mm]
0,002375 [mm] \le o^2 [/mm] / wurzel
o=0,0487
Toll, das Ergebnis soll 9,5 sein.
Ich verstehe hier nichts...
Grüße Phoney
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Hi, Phoney,
also: Bei der Tschebyschoff-Ungleichung musst Du schon genau hinschauen! Sie heißt in der einen Fassung (von mindestens 4 Fassungen!):
P(|X - E(X)| [mm] \ge [/mm] c) [mm] \le \bruch{\sigma ^{2}}{c^{2}}
[/mm]
Dabei sind die Werte von X Zufallswerte, bei Dir also ganze Zahlen zwischen 0 und 850, und daher der Wert von c sicher keine Kommazahl wie 0,05 oder sowas!
Du musst diese Abweichung c im vorliegenden Fall erst mal berechnen.
Sie beträgt c = 850*0,05 = 42,5
Überdenkt man den (sicher äußerst unübersichtlich gestellten) Aufgabentext genauer, bemerkt man, dass man die Tsch.Ungl. in folg. Fassung benötigt:
P(|X-E(X)| < c) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{\sigma ^{2}}{c^{2}} [/mm]
Das weitere Vorgehen ist demnach:
1 - [mm] \bruch{\sigma ^{2}}{42,5^{2}} [/mm] = 0,95
...
Am Ende erhältst Du das gewünschte [mm] \sigma [/mm] = 9,5.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 16.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Zwerglein,
eine schöne und verständliche vom Rechenweg (wobei ich diese Aufgabenstellungen so gut wie nie verstehe) Antwort.
Nur eine Frage ergibt sich noch.
> Dabei sind die Werte von X Zufallswerte, bei Dir also ganze
> Zahlen zwischen 0 und 850, und daher der Wert von c sicher
> keine Kommazahl wie 0,05 oder sowas!
> Sie beträgt c = 850*0,05 = 42,5
> 1 - [mm]\bruch{\sigma ^{2}}{42,5^{2}}[/mm] = 0,95
Widerspricht das nicht der "Kommazahl" These oder was war damit gemeint?
Danke!!!
Gruß
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Hi, Phoney,
> Nur eine Frage ergibt sich noch.
>
> > Dabei sind die Werte von X Zufallswerte, bei Dir also ganze
> > Zahlen zwischen 0 und 850, und daher der Wert von c sicher
> > keine Kommazahl wie 0,05 oder sowas!
>
> > Sie beträgt c = 850*0,05 = 42,5
>
> > 1 - [mm]\bruch{\sigma ^{2}}{42,5^{2}}[/mm] = 0,95
>
> Widerspricht das nicht der "Kommazahl" These oder was war
> damit gemeint?
Ich hätte lieber schreiben sollen:
"c ist sicher keine Kommazahl zwischen 0 und 1":
Die Tsch.Ungl. macht nämlich nur dann Sinn, wenn der vorgegebene Wert für c GRÖSSER ist als die Standardabweichung [mm] \sigma; [/mm] aber Kommazahlen wie 42,5 oder so sind natürlich schon möglich.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 16.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Ok, ich danke dir für diesen informativen Nachtrag!
Gruß,
Phoney
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