Ungleichung per Induktion < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mi 23.04.2008 | | Autor: | n8Mare |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR [/mm] \ {2}, die die strikte Ungleichung:
[mm] \left( \bruch{1}{|x -2|} \right) [/mm] > [mm] \left( \bruch{1}{1 + |x -1|} \right)
[/mm]
erfuellen |
Mein Problem ist dass das mit den Ungleichungen etwas zurueckliegt und ich mich jetzt frage wie ich vorgehen sollte.
Induktion ist an sich ist aber kein Problem.
ausserdem weiß ich nicht mehr so wirklich wie man diese Intervalle dann angibt.
evtl kann mir ja jmd eine seite empfehlen die sich damit beschaeftigt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 23.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Bestimmen Sie alle x [mm]\in \IR[/mm] \ {2}, die die strikte
> Ungleichung:
>
> [mm]\left( \bruch{1}{|x -2|} \right)[/mm] > [mm]\left( \bruch{1}{1 + |x -1|} \right)[/mm]
>
> erfuellen
> Mein Problem ist dass das mit den Ungleichungen etwas
> zurueckliegt und ich mich jetzt frage wie ich vorgehen
> sollte.
> Induktion ist an sich ist aber kein Problem.
Mit Induktion, also mit vollständiger Induktion, hat das nichts zu tun. Mein Vorschlag, der Sache beizukommen, wäre, zunächst einmal die beiden Terme rechts und links vom Ungleichheitszeichen als Funktionen aufzufassen und in ein Koord.-system zu zeichnen. Wenn das gelingt, sieht man schon mal, was Sache ist.
Rechnerisch solltest du 3 Fälle unterscheiden: x > 2, 2 > x > 1, x [mm] \le [/mm] 1, mit denen du die Beträge auflösen kannst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mi 23.04.2008 | | Autor: | n8Mare |
ok die ungleichung gilt also für 2 < x
ansonsten muss ich da nichts umformen?
wenn ich von x > 2 ausgehe sieht das ja so aus:
[mm] \left( \bruch{1}{x -2} \right) [/mm] - [mm] \left( \bruch{1}{x} \right) [/mm] > 0
ich koennte das jetzt noch zusammenziehen aber verlangt die Aufgabenstellung danach? eigentlich doch nicht oder?
und wie stelle ich den intervall dar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mi 23.04.2008 | | Autor: | abakus |
> ok die ungleichung gilt also für 2 < x
Das ist unvollständig. Betragsgleicungen und -Ungleichungen löst man in der Regel durch Fallunterscheidungen.
Wenn der Term zwischen den Betragsstrichen positiv oder Null ist, kann man die Betragsstriche einfach weglassen.
Wenn der Term zwischen den Betragsstrichen negativ ist, kann man die Betragsstriche weglassen UND muss den Term durch den entgegenesetzten Term ersetzen.
Im konkreten Beispiel sind für x>2 sowohl x-2 als auch x-1 positiv.
Dann gilt [mm] \bruch{1}{x-2}>\bruch{1}{1+(x-1)}
[/mm]
Für [mm] 2>x\ge [/mm] 1 ist x-2 negativ und x-1 positiv (oder Null).
Dann gilt [mm] \bruch{1}{-(x-2)}>\bruch{1}{1+(x-1)}
[/mm]
Für 1>x sind sowohl x-2 als auch x-1 negativ.
Dann gilt [mm] \bruch{1}{-(x-2)}>\bruch{1}{1-(x-1)} [/mm]
Diese drei Ungleichungen musst du (unter Berücksichtigung des jeweiligen Definitionsbereichs) getrennt lösen.
Viele Grüße
Abakus
> ansonsten muss ich da nichts umformen?
>
> wenn ich von x > 2 ausgehe sieht das ja so aus:
>
> [mm]\left( \bruch{1}{x -2} \right)[/mm] - [mm]\left( \bruch{1}{x} \right)[/mm]
> > 0
>
> ich koennte das jetzt noch zusammenziehen aber verlangt die
> Aufgabenstellung danach? eigentlich doch nicht oder?
> und wie stelle ich den intervall dar?
>
|
|
|
|
