Ungleichung mit \varepsilon < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Do 07.11.2013 | | Autor: | Puppet |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle am a,b [mm] \in \IR [/mm] und ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt:
[mm] ab\le \bruch{1}{2\varepsilon}a^{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2}b^{2} [/mm] |
Hallo Matheraum,
ich weiß nicht so recht wie ich beginnen soll. Muss ich vielleicht beginnen mit [mm] ab\ge0 [/mm] und ab<0? Oder mit Induktion? Würde mich über einen Anfang freuen.
LG Puppet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. multipliziere mit [mm] 2\epsilon>0
[/mm]
2. bedenke [mm] (x-y)^2\ge0 [/mm] für alle x,y
Gruss leduart
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Hallo,
schaffe alles auf eine Seite, dann hast du die 2. binomische Formel ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 07.11.2013 | | Autor: | Puppet |
Danke für eure schnelle Antwort.
Man da habe ich mir das ja viel zu kompliziert gemacht.
Am Ende steht bei mir
0 [mm] \le (a-\varepsilon b)^{2} [/mm] $ [mm] (a-b)^2\ge0 [/mm] $ für alle a,b.
So korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Do 07.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für eure schnelle Antwort.
>
> Man da habe ich mir das ja viel zu kompliziert gemacht.
>
> Am Ende steht bei mir
>
> 0 [mm]\le (a-\varepsilon b)^{2}[/mm] [mm](a-b)^2\ge0[/mm] für alle a,b.
>
> So korrekt?
das sagt mir so - ehrlich gesagt - gar nichts, und vermutlich wird Dein
Korrektor das ebenso anstreichen.
Schreibe doch mal einfach Deine Rechenschritte hin, und spare dabei nicht
an Symbolen oder Worten. Ich gebe Dir mal ein Beispiel, wie so etwas
"fast optimal" aussehen könnte, indem ich eine andere Aufgabe vorführe:
Wir behaupten, dass
$x+1/x [mm] \ge 2\,$
[/mm]
für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt.
(Die Vorüberlegungen würde man vielleicht nicht einmal zum Beweis
dazuschreiben, sie sind aber das Fundament des eigentlichen Beweises.
Leider wird oft gedacht, dass sie auf einen Schmierzettel gehören, in
Wahrheit aber sind derartige Überlegungen unabdingbar - jedenfalls, wenn
man Beweise nicht nur nachvollziehen können will, sondern auch selbstständig
erarbeiten können will!)
Beweis:
(Vorüberlegungen: $x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ [mm] $\iff [/mm] $ [mm] $x^2+1 \ge [/mm] 2x$ [mm] $\iff$ $x^2-2x+1 \ge [/mm] 0$ [mm] $\iff$ ${(x-1)}^2 \ge 0\,.$)
[/mm]
Es gilt insbesondere für jedes $x > [mm] 0\,$
[/mm]
[mm] ${(x-1)}^2 \ge 0\,,$
[/mm]
so dass wir aus
[mm] ${(x-1)}^2 \ge 0\,$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$ $x^2-2x+1 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Longrightarrow$ $x^2+1 \ge [/mm] 2x$
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ (unter Beachtung von $x [mm] \ge 0\,$)
[/mm]
die Behauptung erhalten. [mm] $\Box$
[/mm]
Was sehen wir? Wir sehen hier das, was ich mal
hier (klick!)
geschrieben habe, wie ein Beweis funktioniert:
Aus der Gültigkeit einer wahren Aussage ist die Behauptung zu folgern.
Und was Du siehst: Bekannt ist, dass [mm] ${(x-1)}^2 \ge [/mm] 0$ sogar für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt,
dann gilt das insbesondere auch für alle $x > [mm] 0\,.$ [/mm] Man startet hier also mit der
wahren Aussage
[mm] ${(x-1)}^2 \ge [/mm] 0$ für alle $x > [mm] 0\,.$
[/mm]
Und dann benutzen wir bei der Vorüberlegung bei den [mm] $\iff$'s [/mm] nur die [mm] $\Longleftarrow$-Folgerungen,
[/mm]
um damit zur Behauptung
$x+1/x [mm] \ge [/mm] 2$ für alle $x > [mm] 0\,$
[/mm]
zu gelangen. (Dass $x > [mm] 0\,$ [/mm] ist, wurde einmal im Beweis erwähnt - es ist sozusagen
eine "während des Beweises universelle Eigenschaft", die [mm] $x\,$ [/mm] während des ganzen
Beweises durchweg innehat!)
Und nebenbei, immer bedenken:
Wenn man zwei Aussagen [mm] $A,B\,$ [/mm] hat und
$A [mm] \iff [/mm] B$
behauptet, dann sollte man sich stets davon überzeugen, dass sowohl die
Folgerung $A [mm] \Longrightarrow [/mm] B$ als auch die Folgerung $B [mm] \Longrightarrow [/mm] A$
gilt.
So ist bspw.
[mm] $x^2=y^2$ $\iff$ [/mm] $x=y$
falsch, wenn wir $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] zulassen. (Hier ist nur die Folgerung [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] wahr!)
Sagen wir aber etwa, dass [mm] $x\le 0\,$ [/mm] und $y [mm] \le 0\,$ [/mm] sei, dann ist
[mm] $x^2=y^2$ $\iff$ [/mm] $x=y$
eine wahre Aussage! (Hier gilt also tatsächlich auch [mm] $x^2=y^2$ $\Longrightarrow$ $x=y\,;$ [/mm] warum?)
Gruß,
Marcel
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