Ungleichung mit arctan(x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: (1 + x) ln (1 + x) > arctan (x) für x>0 |
Ich habe Probleme diese Ungleichung anzugehen. Zuerst habe ich versucht, die Arctan-Fkt. mittels gleicher Argumente zu ändern und dann die Gleichung nach x umzustellen. Sowas hat aber nicht geklappt, da ich bei der ln-Fkt. hagere.
Zudem hat man mir gesagt, dass man etwas mit der Ableitung machen könnte, wovon ich überhaupt keinen Plan habe.
Könnt ihr mir einen Ansatz geben?
Mein Ansatz lautet wie folgt:
f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \ge x_{0} \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \ge x_{0}
[/mm]
Hier: [mm] x_{0} [/mm] = 0
f(x) = (1+x) ln (1+x) - arctan (x)
weiter komme ich nicht...das habe ich von einer Musterlösung abgeschaut, ohne ordentlich was zu verstehen. Ich will es ja verstehen...
Liebe Grüße,
Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: (1 + x) ln (1 + x) > arctan (x) für x>0
> Ich habe Probleme diese Ungleichung anzugehen. Zuerst habe
> ich versucht, die Arctan-Fkt. mittels gleicher Argumente zu
> ändern und dann die Gleichung nach x umzustellen. Sowas hat
> aber nicht geklappt, da ich bei der ln-Fkt. hagere.
> Zudem hat man mir gesagt, dass man etwas mit der Ableitung
> machen könnte, wovon ich überhaupt keinen Plan habe.
> Könnt ihr mir einen Ansatz geben?
Sei $f(x) = (1+x) ln (1+x) - arctan (x)$ für x [mm] \ge [/mm] 0.
Nachrechnen: $f'(x) = ln(1+x) + [mm] \bruch{x^2}{1+x^2}$
[/mm]
Dann ist $f'(x) > 0$ für x>0
Sei x>0: Mit dem Mittelwertsatz gilt:
[mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = $f'(t)$, wobei t zwischen 0 und x.
Dann folgt :
$f(x) = xf'(t)$ > 0, und Du hast was Du brauchst.
FRED
>
> Mein Ansatz lautet wie folgt:
>
> f(x) [mm]\ge[/mm] 0 für alle x [mm]\ge x_{0} \Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\ge[/mm] 0 für
> alle x [mm]\ge x_{0}[/mm]
>
???????????????????????????????????????????????
> Hier: [mm]x_{0}[/mm] = 0
> f(x) = (1+x) ln (1+x) - arctan (x)
>
> weiter komme ich nicht...das habe ich von einer
> Musterlösung abgeschaut, ohne ordentlich was zu verstehen.
> Ich will es ja verstehen...
>
> Liebe Grüße,
>
> Fabian
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