Ungleichung mit Variablen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Aufgabe 2 Es seien a, b, c, d ∈ R mit b > 0 und d > 0. Zeigen Sie, dass
[mm] $\bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d} \gdw \bruch{a}{b} [/mm] < [mm] \bruch{a + c}{b + d} [/mm] < [mm] \bruch{c}{d}$
[/mm]
gilt.
Hallo, ich weiß einfach nicht was ich machen soll und auch nicht wonach ich suchen soll (bei google z.b.).
Könnte mir jemand einen Tip geben?
ich würde halt rangehen und versuchen ein x zu finden, dass a/b<x<c/d erfüllt, aber weiß nicht wie man das macht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 So 21.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich habe mir die Freiheit genommen, die Ungleichungen lesbar zu setzen. Bitte benutze den Formeleditor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 21.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Das zu zeigen geht ganz flott. Die eine Richtung ist eh klar. Für die andere Richtung: Erweitere alle Ungleichungen einzeln, so dass nichts mehr im Nenner steht.
|
|
|
| |
|
wie kann man denn [mm] \bruch{a}{b} [/mm] auf [mm] \bruch{?}{b+d} [/mm] erweitern?
Oder was soll ich machen? einfach mal (b+d)? ich verstehe nicht was du meinst :(
Achso danke für's lesbar machen!
Soll ich das so machen?:
[mm] \bruch{a*(b+d)}{b(b+d)}<\bruch{a+c}{b+d}<\bruch{c*(b+d)}{d(b+d)}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 So 21.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Entschuldige bitte, das Wort erweitern ist falsch.
Multipliziere muss es heißen.
Also Zerlege die zweifache Ungleichung in zwei Ungleichungen.
Multipliziere jede Ungleichung (also drei) mit allem, was bei ihr im Nenner steht.
|
|
|
| |
|
also so?:
[mm] \bruch{a}{b}<\bruch{a+b}{c+d}<\bruch{c}{d}
[/mm]
zerlegen in:
[mm] \bruch{a}{b}<\bruch{a+b}{c+d}
[/mm]
und [mm] \bruch{a+b}{c+d}<\bruch{c}{d}
[/mm]
und [mm] \bruch{a}{b}<\bruch{c}{d}
[/mm]
Alles ohne Nenner:
a(b+d)<b(a+c)
d(a+c)<c(b+d)
ad<cb
Meinst du das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mo 22.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Ja, nun löse die Klammern auf.
|
|
|
| |
|
ab+ad<ab+bc|-ab
ad<cb
ad+cd<cb+cd |-cd
ad<cb
ad<cb
Alles durch (b*d) (um zu zeigen, dass der [mm] \gdw-Pfeil [/mm] stimmt)ergibt wieder den Ausgang von a/b<c/d
Ist die Anfangsaussage damit nun belegt oder wie?
Wenn's das war, dann hab ich das glaube ich zu gestresst angepackt^^
Ich wusste nicht, dass man eine 2fache Ungleichung gesplittet bearbeiten kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Mo 22.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ab+ad<ab+bc|-ab
> ad<cb
>
> ad+cd<cb+cd |-cd
> ad<cb
>
> ad<cb
Das sieht soweit gut aus.
>
> Alles durch (b*d) (um zu zeigen, dass der [mm]\gdw-Pfeil[/mm]
> stimmt)ergibt wieder den Ausgang von a/b<c/d
Ja, aber nur mit einer wichtigen - in der Voraussetzung aber erwähnten - Einschränkung, dieses solltest du noch herausarbeiten.
> Ist die Anfangsaussage damit nun belegt oder wie?
>
> Wenn's das war, dann hab ich das glaube ich zu gestresst
> angepackt^^
> Ich wusste nicht, dass man eine 2fache Ungleichung
> gesplittet bearbeiten kann.
Man kann, meistens macht dieses Splitten die Rechnung leichter.
Marius
|
|
|
| |
|
ich denke die Einschränkung auf die du hinaus willst ist schon geregelt:
d sowie b sind >0.
Von daher kann ich auch durch sie teilen ;)
Wenn das nicht das ist was du meinst erleuchte mich^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 22.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich denke die Einschränkung auf die du hinaus willst ist
> schon geregelt:
> d sowie b sind >0.
Ja.
>
> Von daher kann ich auch durch sie teilen ;)
Das könntest du auch, wenn b oder d (oder beide) negativ wären.
> Wenn das nicht das ist was du meinst erleuchte mich^^
Du bist schon auf nem guten Weg, was würde denn passieren, wenn du durch eine negative Zahl teilst?
Marius
|
|
|
| |
|
alle Krokodilschnäbel würden in die andere Richtung beißen hehe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mo 22.06.2015 | | Autor: | M.Rex |
> alle Krokodilschnäbel würden in die andere Richtung
> beißen hehe.
So ist es, und das sollte ja nicht passieren.
Marius
|
|
|
|
