Ungleichung mit Mittelwertsatz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung die Ungleichung
[mm] 1+\bruch{ax}{(1+x)^{1-a}}<(1+x)^a<1+ax [/mm] für [mm] a\in(0,1) [/mm] und x>0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich brauche dringend mal einen Tipp, wie man an so eine Aufgabe herangeht. Soll ich mir jetzt eine Funktion f mit
[mm] f(x)=1+\bruch{ax}{(1+x)^{1-a}}-1-ax-(1+x)^a [/mm] definieren? Und wie wende ich jetzt darauf den Mittelwertsatz an?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz der
> Differenzialrechnung die Ungleichung
>
> [mm]1+\bruch{ax}{(1+x)^{1-a}}<(1+x)^a<1+ax[/mm] für [mm]a\in(0,1)[/mm] und
> x>0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich brauche dringend mal einen Tipp, wie man an so eine
> Aufgabe herangeht. Soll ich mir jetzt eine Funktion f mit
>
> [mm]f(x)=1+\bruch{ax}{(1+x)^{1-a}}-1-ax-(1+x)^a[/mm] definieren? Und
> wie wende ich jetzt darauf den Mittelwertsatz an?
Nicht so hastig. Nehmen wir uns mal die rechte Ungl. her:
[mm] (1+x)^a<1+ax.
[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 0 definieren wir f(x)= [mm] (1+x)^a-(1+ax).
[/mm]
Für x>0 ist nach dem MWS
[mm] $(1+x)^a-(1+ax)=f(x)-f(0)=f'(t)*x$
[/mm]
mit einem t [mm] \in [/mm] (0,x).
Wenn Du zeigen kannst, dass f'(t) <0 ist für t>0 , bist Du fertig.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
Erst einmal habe ich einige Fragen dazu:
1. x>0. Aus dieser Angabe folgt das Intervall [0,x]?
2. Ich muss sozusagen zeigen, dass [mm] \bruch{(1+x)^a-(1+ax)}{x}>0?
[/mm]
3. Was bedeutet das anschaulich? Zwischen [mm] f(x)=(1+x)^a [/mm] und f(0)=1+ax liegt ein Punkt, der denselben Anstieg hat, wie die Sekante zwischen (x,f(x)) und (0,f(0))? Wieso folgt daraus, dass f(0)<f(x)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Erst einmal habe ich einige Fragen dazu:
>
> 1. x>0. Aus dieser Angabe folgt das Intervall [0,x]?
Ja
>
> 2. Ich muss sozusagen zeigen, dass
> [mm]\bruch{(1+x)^a-(1+ax)}{x}>0?[/mm]
Nein. Zu zeigen ist [mm]\bruch{(1+x)^a-(1+ax)}{x}<0[/mm] für x>0.
Dann folgt [mm] (1+x)^a<(1+ax) [/mm] für x>0.
>
> 3. Was bedeutet das anschaulich? Zwischen [mm]f(x)=(1+x)^a[/mm] und
> f(0)=1+ax liegt ein Punkt, der denselben Anstieg hat, wie
> die Sekante zwischen (x,f(x)) und (0,f(0))? Wieso folgt
> daraus, dass f(0)<f(x)?
Diese Frage verstehe ich nicht, was ist bei Dir jetzt f ??
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
okay:
[mm] f'(t)=\bruch{(1+x)^a-(1+ax)}{x}\underbrace{<}_{0
Damit ist die rechte Seite gezeigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> okay:
>
> [mm]f'(t)=\bruch{(1+x)^a-(1+ax)}{x}\underbrace{<}_{0
>
> Damit ist die rechte Seite gezeigt?
nein.
1. Das was Du mit f'(t) bezeichnest ist f(x)/x, also Unfug.
2. Das obige "<" hast Du keineswegs gezeigt.
3. Den MWS hast Du nicht benutzt, sollst Du aber.
4. Du hast nichts von dem, was ich Dir in meiner ersten Antwort gesagt habe, beherzigt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
Ach wie kann man nur so demotivierend sein!
Okay, jetzt habe ich keine Ahnung mehr. Ich dachte, ich habe es endlich begriffen.
Ich sollte zeigen, dass f'(t)<0 ... Wenn f(x)-f(0)=f'(t)x ist, und ich zeige, dass [mm] f'(t)=\bruch{f(x)-f(0)}{x}<0 [/mm] ist, dann habe ich das doch gezeigt??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ach wie kann man nur so demotivierend sein!
>
> Okay, jetzt habe ich keine Ahnung mehr. Ich dachte, ich
> habe es endlich begriffen.
>
> Ich sollte zeigen, dass f'(t)<0 ... Wenn f(x)-f(0)=f'(t)x
> ist, und ich zeige, dass [mm]f'(t)=\bruch{f(x)-f(0)}{x}<0[/mm] ist,
> dann habe ich das doch gezeigt??
Nein, das hast Du nicht. Du hast oben ein "<" geschrieben, aber ohne jede Begfründung. Also nochmal:
Wir hatten:
(*) $ [mm] (1+x)^a-(1+ax)=f(x)-f(0)=f'(t)\cdot{}x [/mm] $ mit einem t zwischen 0 und x.
Zeige nun: f'(t)<0 für t >0. Mach das doch endlich mal !
Aus (*) folgt dann für positives x die Ungl.
$ [mm] (1+x)^a<1+ax$.
[/mm]
Genau das sollst Du laut Aufgabenstellung tun.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
ABER f'(t) ist doch nach Umstellung [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x}, [/mm] das mache ich doch die ganze Zeit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> ABER f'(t) ist doch nach Umstellung [mm]\bruch{f(x)-f(0)}{x},[/mm]
> das mache ich doch die ganze Zeit?
Du sollst f'(t) berechnen für beliebiges t mit den üblichen Ableitungsregeln:
[mm] $f'(t)=a(1+t)^{a-1}-a$.
[/mm]
Dann haben wir :
[mm] a(1+t)^{a-1}-a=\bruch{f(x)-f(0)}{x}.
[/mm]
zeige nun:
[mm] a(1+t)^{a-1}-a<0.
[/mm]
Dann folgt:
f(x)<0, also die rechte Ungleichung.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Wensch |
Okay, ich habe jetzt trotzdem das Problem, dass ich nicht verstehe:
Wenn f(x)-f(0)=f'(t)x ist, wieso ist dann f'(t)=(f(x)-f(0))' und nicht einfach umgestellt: [mm] f'(t)=\bruch{f(x)-f(0)}{x}? [/mm] Woher nehme ich die Info, dass ich erst Ableiten muss?
Jetzt habe ich:
[mm] f(t)=(1+t)^a-(1+at) \Rightarrow f'(t)=a(1+t)^{a-1}-a.
[/mm]
Weil 0<a<1 gilt: ax<x für alle x>0 [mm] \Rightarrow a(1+t)^{a-1}-a [/mm] < (1+t)^(a-1)-a.
Weil a<1 folgt: (1+t)^(a-1)-a < (1+t)^(a-1)-1.
Weil a-1 < 0 folgt: [mm] (1+t)^{a-1}-1 [/mm] < [mm] (1+t)^0-1 [/mm] = 1-1 = 0.
[mm] \Rightarrow f'(t)=a(1+t)^{a-1}-a [/mm] < 0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 05.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Okay, ich habe jetzt trotzdem das Problem, dass ich nicht verstehe
Ich empfehle dir deshalb folgende Alternative :
Statt mit der von Fred vorgeschlagenen Funktion f, mit der sich tatsächlich die rechte Ungleichung zeigen lässt (was dir allerdings offenbar Mühe bereitet), kannst du es auch mal mit folgender Funktion g versuchen, mit der sich beide Ungleichungen in einfacher Weise zeigen lassen :
Für $ x>0 $ betrachte die Funktion g mit [mm] g(x)=(1+x)^{a} [/mm] und ihren Ableitungen [mm] g'(x)=a*(1+x)^{a-1} [/mm] und [mm] g''(x)=a*(a-1)*(1+x)^{a-2} [/mm] .
Im Intervall [0,x] gibt es nach dem MWS ein t so dass
[mm] \bruch{g(x)-g(0)}{x-0}=\bruch{g(x)-1}{x}=g'(t) [/mm] ist.
Wegen 0<a<1 ist g''(x)<0 und daher gilt für 0<t<x dass g'(x) < g'(t) < g'(0) ist. Eingesetzt erhält man also
[mm] a*(1+x)^{a-1}<\bruch{g(x)-1}{x}
Multipliziere mit x und addiere 1.
Gruß Sax.
|
|
|
|
