Ungleichung mit Integral < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei q: [0, [mm] \infty) [/mm] --> IR stetig, q [mm] \ge [/mm] 0 und die Funktion h(t)=tq(t) sei in [mm] L^1 [/mm] ((0, [mm] \infty)). [/mm] x [mm] \in C^2([0, \infty)) [/mm] sei die Lösung der DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 mit x(0)=0.
Zeige: Hat x in (0, [mm] \infty) [/mm] genau n Nullstellen, so gilt: n [mm] \le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt} [/mm] |
Hallo,
wie soll ich obige Aufgabe angehen?
n [mm] \le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{tq(t) dt} [/mm]
Jetzt evtl partielle Integration? Hilft aber glaube ich nicht wirklich weiter.
Wenn x(0)=0 muss ja auch x''(0)=0 sein.
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> Sei q: [0, [mm]\infty)[/mm] --> IR stetig, q [mm]\ge[/mm] 0 und die Funktion
> h(t)=tq(t) sei in [mm]L^1[/mm] ((0, [mm]\infty)).[/mm] x [mm]\in C^2([0, \infty))[/mm]
> sei die Lösung der DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 mit x(0)=0.
> Zeige: Hat x in (0, [mm]\infty)[/mm] genau n Nullstellen, so gilt:
> n [mm]\le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt}[/mm]
> Hallo,
>
> wie soll ich obige Aufgabe angehen?
>
> n [mm]\le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{tq(t) dt}[/mm]
> Jetzt evtl partielle Integration? Hilft aber glaube ich
> nicht wirklich weiter.
>
> Wenn x(0)=0 muss ja auch x''(0)=0 sein.
Hallo Trikolon
ich glaube, dass ich mit einer einfachen Skizze einen
Lösungsansatz gefunden habe.
Du hast schon gesehen, dass für eine Lösungsfunktion
x außer x(0)=0 auch x''(t)=0 gelten muss. Da diese
Funktion zweimal differenzierbar sein muss, ist ihr
Graph eine glatte, stetige Kurve, die in (0,0) mit
einer horizontalen Tangente startet. Falls sie nun
zum Beispiel 4 positive Nullstellen [mm] t_1, t_2, t_3, t_4
[/mm]
haben sollte (also n=4), kann man sich dazu leicht
eine Skizze machen und erkennt, dass die Kurve dann
in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Nullstellen mindestens ein Extremum annehmen muss,
wo jeweils x'(t)=0 sein muss. Da auch bei [mm] t_0=0
[/mm]
schon eine Nullstelle liegt, kommen wir auf mindestens 4
(im allgemeinen Fall mindestens n) positive Nullstellen
der Funktion x'(t).
Nun muss man versuchen, diese Idee mittels der
Hilfsfunktion h, dem Integral und der DGL umzusetzen.
Das mit der partiellen Integration würde ich mal
durchführen - vielleicht bekommt man daraus ja
eine Nützliche Einsicht ...
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Fr 14.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei q: [0, [mm]\infty)[/mm] --> IR stetig, q [mm]\ge[/mm] 0 und die Funktion
> h(t)=tq(t) sei in [mm]L^1[/mm] ((0, [mm]\infty)).[/mm] x [mm]\in C^2([0, \infty))[/mm]
> sei die Lösung der DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 mit x(0)=0.
Hmmm.... Das gefällt mir nicht !
Die lineare DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 hat unendlich viele Lösungen. Auch die Bedingung x(0)=0 führt nicht zu einer eindeutig bestimmten Lösung.
Du schreibst oben ... " die Lösung... " Steht das wirklich so in der Aufgabenstellung ?
> Zeige: Hat x in (0, [mm]\infty)[/mm] genau n Nullstellen, so gilt:
> n [mm]\le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt}[/mm]
> Hallo,
>
> wie soll ich obige Aufgabe angehen?
Die Aufgabe stammt aus dem Dunstkreis "Rand- und Eigenwertprobleme ".
Darf ich fragen, was Ihr schon hattet zum Thema Oszillationssatz" , "Amplitudensatz" ?
FRED
>
> n [mm]\le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{tq(t) dt}[/mm]
> Jetzt evtl partielle Integration? Hilft aber glaube ich
> nicht wirklich weiter.
>
> Wenn x(0)=0 muss ja auch x''(0)=0 sein.
>
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> > Sei q: [0, [mm]\infty)[/mm] --> IR stetig, q [mm]\ge[/mm] 0 und die Funktion
> > h(t)=tq(t) sei in [mm]L^1[/mm] ((0, [mm]\infty)).[/mm] x [mm]\in C^2([0, \infty))[/mm]
> > sei die Lösung der DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 mit x(0)=0.
>
>
> Hmmm.... Das gefällt mir nicht !
>
> Die lineare DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 hat unendlich viele
> Lösungen. Auch die Bedingung x(0)=0 führt nicht zu einer
> eindeutig bestimmten Lösung.
Hallo Fred,
Trikolon hat schon festgestellt, dass man auch noch
die Gleichung x''(0)=0 hat. Da dies aber aus der DGL
selbst hervorgeht, ist es natürlich nichts Neues. Man
kann sich aber klar machen, dass die verschiedenen
Lösungsfunktionen (wegen der Linearität der DGL)
eine einparametrige Schar der Form
$\ [mm] x_a(t)\ [/mm] =\ [mm] a*x_1(t)\qquad (\,a\in\IR)$ [/mm] bilden, wobei
[mm] x_1 [/mm] eine (nicht verschwindende) Lösung der DGL ist.
Für [mm] x_1 [/mm] könnte man z.B. so etwas wie [mm] x_1(1)=1
[/mm]
verlangen, und für die Frage nach der Anzahl der
Nullstellen der Lösungsfunktion [mm] x_a(t) [/mm] ist der
Wert von a (natürlich a≠0 vorausgesetzt !),
unerheblich.
Insofern sehe ich da kein grundsätzliches Problem.
Falls in der Aufgabenstellung allerdings die Rede
von "der" Lösungsfunktion war, so muss man dies
dem Aufgabensteller ankreiden
Sehe ich das richtig ?
Mit meinem Lösungsansatz mit den Extremalstellen
bin ich bisher leider (bisher) nicht weiter gekommen ...
Du kannst mir aber vielleicht sagen, ob dieser
Ansatz sich weiter zu verfolgen überhaupt lohnen
könnte.
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 18.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> > Sei q: [0, [mm]\infty)[/mm] --> IR stetig, q [mm]\ge[/mm] 0 und die Funktion
> > h(t)=tq(t) sei in [mm]L^1[/mm] ((0, [mm]\infty)).[/mm] x [mm]\in C^2([0, \infty))[/mm]
> > sei die Lösung der DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 mit x(0)=0.
>
>
> Hmmm.... Das gefällt mir nicht !
>
> Die lineare DGL x''(t)+q(t)x(t)=0 hat unendlich viele
> Lösungen. Auch die Bedingung x(0)=0 führt nicht zu einer
> eindeutig bestimmten Lösung.
>
> Du schreibst oben ... " die Lösung... " Steht das wirklich
> so in der Aufgabenstellung ?
>
Ich habe nochmal nachgeschaut, es steht tatsächlich so da.
> > Zeige: Hat x in (0, [mm]\infty)[/mm] genau n Nullstellen, so gilt:
> > n [mm]\le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > wie soll ich obige Aufgabe angehen?
>
> Die Aufgabe stammt aus dem Dunstkreis "Rand- und
> Eigenwertprobleme ".
Wir haben bisher weder das eine noch das andere behandelt.
> Darf ich fragen, was Ihr schon hattet zum Thema
> Oszillationssatz" , "Amplitudensatz" ?
>
Klar darfst du das, ich bin ja froh um jede Hilfe! Leider habe ich beide Sätze noch nie gehört...
> FRED
> >
> > n [mm]\le \integral_{0}^{\infty}{h(t) dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{tq(t) dt}[/mm]
> > Jetzt evtl partielle Integration? Hilft aber glaube ich
> > nicht wirklich weiter.
> >
> > Wenn x(0)=0 muss ja auch x''(0)=0 sein.
> >
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Hat noch jemand einen Vorschlag zur Lösung der Aufgabe?? Ich habe heute nochmal lange drüber nachgedacht, aber keine Idee gefunden, wie ich die Aufgabe angehen soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 17.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 16.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Trikolon |
Hallo Fred,
hättest du noch ein paar Anregungen für mich?
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Wir haben heute ein paar Tipps zu der Aufgabe bekommen (die mir allerdings nicht weiterhelfen):
Zwei mal Taylorentwicklung (Grad 2)
Was passiert zwischen Nullstellen?
geschickt abschätzen nach unten gegen 1
Integral aufspalten zwischen den Nullstellen
Ich wäre froh, wenn jemandem was dazu einfallen würde...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 21.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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