Ungleichung mit Infimum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Tag
Wir haben in unserem Kurs eine Beweisskizze erhalten und ich wollte diese gerne präzise vervollständigen. Dabei sind ein paar kleine Fragen aufgetaucht und ich wäre dankbar, wenn jemand sagen könnte ob meine Argumentation richtig ist. Grundsätzlich haben wir einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] gegeben.
Es sei eine Menge $K$ von Wahrscheinlichkeitsmassen gegeben, welche alles absolut stetig bezüglich einem ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsmass $P$ sind. Es geht um folgende Implikation:
1. Es existiert ein [mm] $\delta [/mm] >0 $, wenn immer ein [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $P(A)\le \delta [/mm] $ gilt [mm] $\inf_{Q\in K} [/mm] Q[A]=0$
2. für alle Zufallsvariablen [mm] $Y\ge [/mm] 0$ giltL [mm] $\lim_{n\to \infty}\inf_{Q\in K}E_Q[Y\wedge n]<\infty$ [/mm] wobei $a [mm] \wedge [/mm] b$ das Minimum von $a$ und $b$ bezeichnet.
Ich will [mm] $2)\Rightarrow [/mm] 1)$ zeigen.
Der Beweis soll durch Kontraposition geführt werden. Hier kommt meine erste Frage, wieso ist die Kontraposition zu $1)$: Wenn $1).$ nicht gilt, gibt es eine Folge von Mengen [mm] $(A_n)\subset\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $P(A_n)\le 2^{-n}$ [/mm] und [mm] $\gamma_n:=\inf_{Q\in K} Q[A_n]>0$.?
[/mm]
Danach definiere ich [mm] $Y:=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\epsilon_n}\mathbf1_{A_n}$. [/mm] Es wird behauptet, dass dies wohldefiniert sei. Hier wende ich Borel-Cantelli an und sehe, dass die Summe jeweils eine endliche Summe ist.
Nun wird [mm] $l_n:=\frac{n}{\epsilon_n}$ [/mm] gesetzt. Danach folgt eine Ungleichungskette:
[mm] $\lim_{k\to \infty}\inf_{Q\in K}E_Q[Y\wedge k]\ge \inf_{Q\in K}E_Q[Y\wedge l_n]\ge \frac{n}{\epsilon_n}\inf_{Q\in K}Q(A_n)=n$
[/mm]
Die bereit mir besonders Mühe. Ich muss sicherlich die Definition von $Y$ verwenden, aber mein Problem ist, dass ich ja nicht weiss, welche Terme in der Summe verschwinden. Für die erste Ungleichung würde ich gerne $k$ mittel [mm] $l_n$ [/mm] nach unten abschätzen. Aber es gilt ja nicht für alle $n$, dass [mm] $\frac{n}{\epsilon_n}\le [/mm] k$.
Wieso sind also diese beiden Ungleichungen richtig?
Es wäre wirklich nett, wenn mir jemand helfen könnten. Ich danke euch für die Hilfe.
Liebe Grüsse
marianne88
|
|
| |
|
Hallo Marianne,
> Guten Tag
>
> Wir haben in unserem Kurs eine Beweisskizze erhalten und
> ich wollte diese gerne präzise vervollständigen. Dabei
> sind ein paar kleine Fragen aufgetaucht und ich wäre
> dankbar, wenn jemand sagen könnte ob meine Argumentation
> richtig ist. Grundsätzlich haben wir einen
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm] gegeben.
>
> Es sei eine Menge [mm]K[/mm] von Wahrscheinlichkeitsmassen gegeben,
> welche alles absolut stetig bezüglich einem
> ursprünglichen Wahrscheinlichkeitsmass [mm]P[/mm] sind. Es geht um
> folgende Implikation:
>
> 1. Es existiert ein [mm]\delta >0 [/mm], wenn immer ein
> [mm]A\in\mathcal{A}[/mm] mit [mm]P(A)\le \delta[/mm] gilt [mm]\inf_{Q\in K} Q[A]=0[/mm]
>
> 2. für alle Zufallsvariablen [mm]Y\ge 0[/mm] giltL [mm]\lim_{n\to \infty}\inf_{Q\in K}E_Q[Y\wedge n]<\infty[/mm]
> wobei [mm]a \wedge b[/mm] das Minimum von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] bezeichnet.
>
> Ich will [mm]2)\Rightarrow 1)[/mm] zeigen.
>
> Der Beweis soll durch Kontraposition geführt werden. Hier
> kommt meine erste Frage, wieso ist die Kontraposition zu
> [mm]1)[/mm]: Wenn [mm]1).[/mm] nicht gilt, gibt es eine Folge von Mengen
> [mm](A_n)\subset\mathcal{A}[/mm] mit [mm]P(A_n)\le 2^{-n}[/mm] und
> [mm]\gamma_n:=\inf_{Q\in K} Q[A_n]>0[/mm].?
Die Aussage in 1 lautet:
[mm] $\exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: \IP(A) \le \delta \Rightarrow \inf_{Q\in K} [/mm] Q[A]=0$.
Negation (beachte: [mm] $\neg(A \Rightarrow [/mm] B) = A [mm] \mbox{ und }\neg [/mm] B$)
[mm] $\forall \delta [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}: \IP(A) \le \delta \mbox{ und } \inf_{Q\in K} [/mm] Q[A] > 0$.
D.h. du kannst für die [mm] $\delta [/mm] = [mm] 2^{-n}$ [/mm] nacheinander jeweils ein [mm] $A_n$ [/mm] bekommen mit [mm] $\IP(A_n) \le \delta [/mm] = [mm] 2^{-n}$ [/mm] und [mm] $\inf_{Q\in K} Q[A_n] [/mm] > 0$.
---
Ab jetzt steht hier ein [mm] $\epsilon_n$. [/mm] Meinst du damit evtl. das [mm] $\gamma_n$ [/mm] von oben??
> Danach definiere ich [mm]Y:=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\epsilon_n}\mathbf1_{A_n}[/mm].
> Es wird behauptet, dass dies wohldefiniert sei. Hier wende
> ich Borel-Cantelli an und sehe, dass die Summe jeweils eine
> endliche Summe ist.
>
> Nun wird [mm]l_n:=\frac{n}{\epsilon_n}[/mm] gesetzt. Danach folgt
> eine Ungleichungskette:
>
> [mm]\lim_{k\to \infty}\inf_{Q\in K}E_Q[Y\wedge k]\ge \inf_{Q\in K}E_Q[Y\wedge l_n]\ge \frac{n}{\epsilon_n}\inf_{Q\in K}Q(A_n)=n[/mm]
>
> Die bereit mir besonders Mühe. Ich muss sicherlich die
> Definition von [mm]Y[/mm] verwenden, aber mein Problem ist, dass ich
> ja nicht weiss, welche Terme in der Summe verschwinden.
> Für die erste Ungleichung würde ich gerne [mm]k[/mm] mittel [mm]l_n[/mm]
> nach unten abschätzen. Aber es gilt ja nicht für alle [mm]n[/mm],
> dass [mm]\frac{n}{\epsilon_n}\le k[/mm].
Wichtig ist, dass die Ungleichungskette für FESTES n untersucht wird.
Und für festes n gibt es $k [mm] \in \IN$, [/mm] so dass $k [mm] \ge l_n$ [/mm] gilt. Die linke Seite wächst monoton in $k$. Daher die erste Ungleichung.
Für die zweite Ungleichung schauen wir uns $Y [mm] \wedge l_n$ [/mm] an:
$Y [mm] \wedge l_n =\sum_{l=1}^\infty \left(\frac{l}{\epsilon_l} \wedge l_n\right)\mathbf1_{A_l}$.
[/mm]
Jeder Summand ist sicher [mm] $\ge [/mm] 0$, aber für $l = n$ steht da:
[mm] $\left(\frac{n}{\epsilon_n} \wedge l_n\right)\mathbf1_{A_n} [/mm] = [mm] \frac{n}{\epsilon_n}\mathbf1_{A_n}$.
[/mm]
Also gilt $Y [mm] \wedge l_n \ge \frac{n}{\epsilon_n}\mathbf1_{A_n}$.
[/mm]
Das wird in der zweiten Ungleichung benutzt.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Fr 05.07.2013 | | Autor: | marianne88 |
Guten Tag Stephan
Super, danke für deine Hilfe! Ja genua, [mm] $\epsilon_n$ [/mm] sollte [mm] $\gamma_n$ [/mm] sein. Entschuldige den Fehler. Du hast mir sehr geholfen. Nochmals Danke.
Liebe Grüsse
marianne88
|
|
|
|
