Ungleichung mit Grenzwerten < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Mi 09.11.2011 | | Autor: | kalor |
Moin!
Nehmen wir an, dass ich eine Folge $ [mm] f_n(x) [/mm] $ von Funktionen habe, die für alle $ x $ gegen $ f(x) $ konvergiert. Nun weiss ich zusätzlich, dass
$ [mm] \bruch{\epsilon}{2} \ge [/mm] 1-f(x) = [mm] 1-\lim{f_n(x)} [/mm] $.
Ich weiss ja: $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall \epsilon \exists [/mm] N : [mm] n\ge [/mm] N [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x) | < [mm] \bruch{\epsilon}{2} [/mm] $
Nun würde ich gerne für die Folge schliessen, dass $ [mm] \exists [/mm] N: [mm] n\ge [/mm] N $:
$ [mm] \epsilon \ge 1-f_n(x) [/mm] $.
Kann ich dies tun, wenn ja warum? Mich stört halt die Betrgasstriche in der Definition von Punktweiser Konvergenz.
mfg
KalOR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mi 09.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was soll die 1 darin? meinst du dass [mm] f_n(x) [/mm] gegen 1 konvergiert, also f(x)=1
dann ist [mm] 1-f(x)=0<\epsilon
[/mm]
sonst musst du erklären was du genau willst.
aus [mm] |f_n(x)-f(x)|< \epsilon/2 [/mm] kannst du nicht auf [mm] f_n(x)-f(x)<\epsilon/2 [/mm] schließen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 09.11.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo leduart,
Ich danke dir für deine Antwort. Ich dachte mir, dass ich das Problem richtig übersetzt hätte. Es geht um folgendes:
Wenn wir wissen, dass folgendes gilt:
$ [mm] \bruch{\epsilon}{2} \ge \bruch{1}{l} \integral_{-l}^l{(1-f(x)) dx} [/mm] = [mm] \lim \bruch{1}{l} \integral_{-l}^l{(1-f_n(x)) dx} [/mm] $
Weil man majorisierte Konvergenz verwenden kann. Dann schliesst man, da eben punktweise Konvergenz vorliegt: $ [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N $:
$ [mm] \epsilon \ge \bruch{1}{l} \integral_{-l}^l{(1-f_n(x)) dx} [/mm] $
Ich dachte mir, dass Integral spielt keine Rolle, da es ja um die Folge geht, daher habe ich dies in der ersten Frage nicht gestellt. Nur als Randnotiz, die $ [mm] f_n [/mm] $ sind charakteristische Funktionen zu Verteilungen $ [mm] \mu_n [/mm] $ und von $ f $ nehmen wir an, dass diese Funktion stetig in 0 ist.
mfg
KalOR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
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> Ich danke dir für deine Antwort. Ich dachte mir, dass ich
> das Problem richtig übersetzt hätte. Es geht um
> folgendes:
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> Wenn wir wissen, dass folgendes gilt:
>
> [mm]\bruch{\epsilon}{2} \ge \bruch{1}{l} \integral_{-l}^l{(1-f(x)) dx} = \lim \bruch{1}{l} \integral_{-l}^l{(1-f_n(x)) dx}[/mm]
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> Weil man majorisierte Konvergenz verwenden kann. Dann
> schliesst man, da eben punktweise Konvergenz vorliegt:
> [mm]\forall n \ge N [/mm]:
>
> [mm]\epsilon \ge \bruch{1}{l} \integral_{-l}^l{(1-f_n(x)) dx}[/mm]
>
> Ich dachte mir, dass Integral spielt keine Rolle, da es ja
> um die Folge geht, daher habe ich dies in der ersten Frage
> nicht gestellt. Nur als Randnotiz, die [mm]f_n[/mm] sind
> charakteristische Funktionen zu Verteilungen [mm]\mu_n[/mm] und von
> [mm]f[/mm] nehmen wir an, dass diese Funktion stetig in 0 ist.
Aha.
Allgemein gilt: ist [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen und ist [mm] \epsilon>0 [/mm] mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n \le \epsilon/2,
[/mm]
so gibt es selbstverständlich ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] a_n \le \epsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
FRED
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> mfg
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> KalOR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Völlig kritiklos:
Du hast (woher auch immer) für ein [mm] \epsilon>0 [/mm] und ein x:
(1) [mm] $\bruch{\epsilon}{2} \ge [/mm] 1-f(x) $
und es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
(2) [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x) | < [mm] \bruch{\epsilon}{2}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N.
Ist dann n [mm] \ge [/mm] N , so gilt für obiges x, wegen (1) und (2):
[mm] $1-f_n(x)=1-f(x)+f(x)-f_n(x) \le \bruch{\epsilon}{2}+f(x)-f_n(x) \le \bruch{\epsilon}{2}+|f(x)-f_n(x)| <\bruch{\epsilon}{2}+\bruch{\epsilon}{2}= \epsilon. [/mm] $
Nun erzähl mal wozu Du das brauchst.
FRED
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