Ungleichung mit Betrag < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Hallo zusammen,
komme bei dieser Gleichung leider nicht weiter:
|x-1| < (x²-11x):(x+16)
Da man ja einen Betrag hat, muss man diesen schon ein Mal in 2 Fälle unterscheiden:
(1) wenn x [mm] \ge [/mm] 1 (dann wird Betrag positiv)
(2) wenn x < 1 (dann wird Betrag negativ)
Jetzt muss ich ja eigentlich noch die Fälle betrachten, dass der Nenner des Bruches (also x+16) auch noch mal negativ oder positiv sein kann:
(3) wenn x > -16 (dann wird Nenner positiv)
(4) wenn x < -16 (dann wird Nenner negativ)
sei x [mm] \not= [/mm] -16
Nun stehe ich auf dem Schlauch und weiß nicht mehr weiter. Ansätze wären super hilfreich für mich. Danköö
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Hallo Phil,
bisher stimmt doch alles. Was ist denn jetzt die Frage?
> |x-1| < (x²-11x):(x+16)
>
> Da man ja einen Betrag hat, muss man diesen schon ein Mal
> in 2 Fälle unterscheiden:
>
> (1) wenn x [mm]\ge[/mm] 1 (dann wird Betrag positiv)
> (2) wenn x < 1 (dann wird Betrag negativ)
>
> Jetzt muss ich ja eigentlich noch die Fälle betrachten,
> dass der Nenner des Bruches (also x+16) auch noch mal
> negativ oder positiv sein kann:
>
> (3) wenn x > -16 (dann wird Nenner positiv)
> (4) wenn x < -16 (dann wird Nenner negativ)
>
> sei x [mm]\not=[/mm] -16
>
> Nun stehe ich auf dem Schlauch und weiß nicht mehr weiter.
Es gibt zusammengefasst ja nur drei Fälle:
1) [mm]x<-16[/mm]
2) [mm]-16
3) [mm]1\le{x}[/mm]
Die untersuchst Du halt der Reihe nach. Du weißt in jedem der Fälle, wie der Betrag aufzulösen ist, und was mit dem Relationszeichen passiert, wenn Du mit dem rechten Nenner multiplizierst.
Mehr ist eigentlich auch nicht dran an der Aufgabe.
Beachte allerdings das Quadrat!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Danke für den Hinweis. Habe das nicht verstanden, dass man aus den 4 Fallen auch bloß drei machen kann. Nun habe ich den ersten Fall (x < -16) betrachtet und komme auf folgende Lösung: 26x - 16 > 0. Kann das sein? Wenn ja, was mache ich nun? DIe Nullstellen ausrechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Entschuldigung, habe die Gleichung einfach nach x aufgelöst. Dann steht da:
x > 8/13
In Verbindung mit der Anfangsbedingung x < -16 bekommt man als Lösung die leere Menge, nicht wahr?
Habe nun die beiden anderen Fälle betrachtet und komme beim 2. Fall (-16 < x < 1) auf die Lösungen:
x > 2 und x > -4.
In Verbindung mit der Anfangsbed. -16 < x < 1 bekomme ich nun die Lösungsmenge L = (-16 , [mm] \infty)
[/mm]
stimmt das?
Als dritte Lösung bekomme ich wieder die leere Menge (da die Lösung der Ungleichung des dritten Falles ergibt:
x < -4/7. Die Anfangsbed. war x [mm] \ge [/mm] 1.
Als gesamtergebnis müsste doch auch L = (-16 , [mm] \infty) [/mm] rauskommen, oder Irre ich mich?
Weil unser Prof die Lösung L = (-16 , -4) angegeben hat
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Hallo, schaue mal in meine andere Antwort, Steffi
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Hallo, arbeiten wir die Fälle ab
Fall (1): x<-16
somit ist x-1<0 und x+16<0
[mm] -(x-1)<\bruch{x^{2}-11x}{x+16}
[/mm]
[mm] -(x-1)*(x+16)>x^{2}-11x
[/mm]
[mm] -x^{2}-15x+16>x^{2}-11x
[/mm]
[mm] -2x^{2}-4x+16>0
[/mm]
betrachte die nach unten geöffnete Parabel [mm] f(x)=-2x^{2}-4x+16 [/mm] die Nullstellen sind [mm] x_1=-4 [/mm] und [mm] x_2=2, [/mm] also -4<x<2
für die Lösungsmenge bekommst du aus Fall (1) eine leere Menge
Fall (2) -16<x<1
somit ist x-1<0 und x+16>0
[mm] -(x-1)<\bruch{x^{2}-11x}{x+16}
[/mm]
[mm] -(x-1)*(x+16)
[mm] -x^{2}-15x+16
[mm] -2x^{2}-4x+16<0
[/mm]
betrachte die nach unten geöffnete Parabel [mm] f(x)=-2x^{2}-4x+16 [/mm] die Nullstellen sind [mm] x_1=-4 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] also x<-4 oder x>2
für die Lösungsmenge bekommst du aus Fall (3) -16<x<-4
Fall (3)
[mm] 1\le [/mm] x
somit ist x-1>0 und x+16>0
[mm] (x-1)<\bruch{x^{2}-11x}{x+16}
[/mm]
[mm] (x-1)*(x+16)
[mm] x^{2}+15x-16
26x<16
[mm] x<\bruch{8}{13}
[/mm]
für die Lösungsmenge bekommst du aus Fall (2) eine leere Menge
Somit erfüllen alle Zahlen -16<x<-4 die Ungleichung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
Danke. Habe einen Rechenfehler gemacht. Hab ihn aber ausfindig machen können ;)
Trotzdem stellt sich mir ncoh eine Frage zu Fall 2:
die Nullstellen von f(x) bleiben ja die selben, also liegt das x zwischen -4 und 2, sprich -4 < x < 2
Wenn ich aber nun die Voraussetzung für Fall 2 dazu nehme (-16<x<1), warum ist die Lösungsmenge nicht -16<x<2 ?? Diesen Schritt muss ich jetzt nur noch verstehen, dann bin ich vollends zufrieden
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Hallo, im Fall (2) haben wir ja die Ungleichung
[mm] -2x^{2}-4x+16<0
[/mm]
eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen -4 und 2
[Dateianhang nicht öffentlich]
alle Zahlen x<-4 und x>2 erfüllen also die Ungleichung,
in der Ungleichung steht doch aber KLEINER ALS, also ist der Teil der Parabel zu betrachten, der unterhalb der x-Achse liegt
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Phil92 |
DANKESEHR! Jetzt habe ich endlich dieses ganze Ungleichungszeugs verstanden. Man muss sich nur Skizzen anfertigen, dann versteht man das auch endlich. Schade, dass man so einen Programmierbaren Rechner nicht mit in die Prüfung nehmen darf :D
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