Ungleichung ln x < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Di 30.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Es ist [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{ln(x + 1)}{x} [/mm] = 1, und es gibt ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, so dass für alle x mit |x - 1| < [mm] \epsilon [/mm] gilt:
[mm] \bruch{1}{2}(x-1) [/mm] < ln x < [mm] \bruch{3}{2}(x-1) [/mm] |
Der Grenzwert ist mit einem Durchgang de l'Hospital einfach erledigt.
Der Rest hingegen...
Erst einmal zum ersten Teil der Ungleichung:
[mm] \bruch{1}{2}(x-1) [/mm] < ln(x)
und aus |x-1| < [mm] \epsilon [/mm] ( [mm] \gdw [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < x - 1< [mm] \epsilon) [/mm] müsste man doch schließen können:
ln(x) > [mm] \bruch{-\epsilon}{2}
[/mm]
x > [mm] e^{\bruch{-\epsilon}{2}}
[/mm]
und zum zweiten Teil:
ln x < [mm] \bruch{3}{2}(x-1)
[/mm]
x < [mm] e^{\bruch{3}{2}\epsilon}
[/mm]
Ergo: [mm] e^{\bruch{-\epsilon}{2}} [/mm] < x < [mm] e^{\bruch{3}{2}\epsilon}
[/mm]
Wähle [mm] \epsilon [/mm] = 0.001:
0.999500125 < x < 1.001501126 für alle x mit 0.999 < x < 1.001
so und spätestens jetzt bin ich wieder völlig verwirrt. Ich fürchte, ich habe völlig den Faden verloren. Was sagt mir das jetzt (abseits der Rechenungenauigkeit des TR)?
Wie könnte (oder sollte) man die Aufgabe besser angehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
> Es ist [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{ln(x) + 1}{x}[/mm] = 1,
Das soll stimmen? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") ... *leichtezweifelichhab*
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Di 30.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Wo du wiederum recht hast, da ist mir eine Klammer verrutscht. Sorry.
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Indem man [mm]x[/mm] durch [mm]x-1[/mm] substituiert, kann man die Grenzwertaussage auch so schreiben:
[mm]\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1[/mm]
Da der Grenzwert 1 ist, heißt das doch, daß der Ausdruck [mm]\frac{\ln x}{x-1}[/mm] irgendwann einmal oberhalb von [mm]\frac{1}{2}[/mm] und unterhalb von [mm]\frac{3}{2}[/mm] liegt, wenn nur [mm]x[/mm] hinreichend nahe bei 1 liegt. Es existiert also ein [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
[mm]\frac{1}{2} < \frac{\ln x}{x-1} < \frac{3}{2} \ \ \mbox{für} \ \ \left| x - 1 \right| < \varepsilon[/mm]
Und jetzt muß man diese Ungleichung nur noch mit [mm]x-1[/mm] durchmultiplizieren. So ohne weiteres klappt das aber nur für [mm]x>1[/mm]. Für [mm]x<1[/mm] sind die Relationszeichen umzudrehen. Insofern ist die zu beweisende Aussage nicht korrekt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Di 06.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Leopold,
du hast vollkommen Recht, da hat der Aufgabensteller einen Fehler gemacht. 
Falls es dich interessiert, die korrigierte Ungleichung/Aufgabenstellung sieht so aus:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] | x - 1 | [mm] \le [/mm] | ln x | [mm] \le \bruch{3}{2} [/mm] | x - 1 |
Damit müsste ich jetzt eigentlich selbst gut klar kommen.
Gruß, Tobias
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