Ungleichung konkave Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f\in C^{2}(\IR) [/mm] derart, dass f(0)=0, f'>0 und [mm] f''(t)\le0 \forall [/mm] t>0 gilt dann für alle a, b>0 folgende Ungleichung?
[mm] f(a+b)\le [/mm] f(a)+f(b) |
Hallo!
Also eigentlich geht es darum, nachzurechnen, dass was eine Metrik ist, aber da kommt halt diese auf [mm] \IR^{+} [/mm] konkave Funktion bei vor und das Problem dabei ist eigentlich nur die Ungleichung über "undirekte" Wege...
Genau: Man hat eine Metrik d und diese Funktion und [mm] f\circ [/mm] d soll dann wohl auch eine Metrik sein.
Also die Ungleichung von oben scheint richtig zu sein, stimmt zumindest beim Beispiel der Wurzelfunktion^^
Nur krieg ich das irgendwie nicht bewiesen, habs schon mit der eigentlichen Def. von Konkavität versucht, abgesehen von [mm] f''\le [/mm] 0 oder Ungleichung von Jensen, aber irgendwie krieg ichs nicht hin... Dabei kann das doch garnicht so schwer sein...denke ich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Hier stimmt gewaltig etwas nicht !!
Wenn $ [mm] f\circ [/mm] d$ wieder eine Metrik sein soll, so ist das wegen $ [mm] f(t)\le0 \forall [/mm] $ t>0 kaum möglich !!
Soll f'>0 auf ganz [mm] \IR [/mm] gelten ? Auch das kann nicht sein, denn es ist
$ f'(0) = [mm] \limes_{t\rightarrow 0+0}\bruch{f(t)-f(0)}{t-0}=\limes_{t\rightarrow 0+0}\bruch{f(t)}{t} \le [/mm] 0$
Also: wie lautet die Aufgabenstellung vollständig und korrekt ?
FRED
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Oh, ich hatte da wohl zwei Striche vergessen... nicht [mm] f(t)\ge [/mm] 0, sondern [mm] f''(t)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] t>0, deswegen ists ja auch konkav auf [mm] \IR^{+}...
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh, ich hatte da wohl zwei Striche vergessen... nicht
> [mm]f(t)\ge[/mm] 0, sondern [mm]f''(t)\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] t>0, deswegen ists
> ja auch konkav auf [mm]\IR^{+}...[/mm]
Nein. f ist konvex !
Die Ungl. f(a+b) [mm] \le [/mm] f(a)+f(b) lässt sich nicht beweisen, denn sie ist falsch. Beispiel: [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Für konvexe Funktionen gilt aber (und das folgt sofort aus der Def. von "konvex"):
[mm] f(\bruch{a+b}{2}) \le \bruch{f(a)+f(b)}{2}
[/mm]
FRED
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Huhu,
> Oh, ich hatte da wohl zwei Striche vergessen... nicht
> [mm]f(t)\ge[/mm] 0, sondern [mm]f''(t)\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] t>0, deswegen ists
> ja auch konkav auf [mm]\IR^{+}...[/mm]
da du in deinem ersten Post immer [mm] \le [/mm] geschrieben hast und von konkav gesprochen hast, hier auch gleich ein Gegenbeispiel für den Fall, dass du konkav meintest:
$f(x) = [mm] -e^{-x}-1$ [/mm] erfüllt alle deine Bedingungen, setze a=b=1
MFG,
Gono.
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Ach ich habs heute auch mit den Fehlern...
Wie auch immer: natürlich [mm] \le [/mm] ...
Dein Gegenbeispiel klappt aber so nicht, f verläuft ja nicht durch den Ursprung, es müsste +1 sein und dann stimmt die Ungleichung auch wieder, anscheinend...
Jedenfalls geht es darum:
[mm] (f\circ [/mm] d)(x,y)
[mm] \le [/mm] f(d(x,z)+d(y,z)) da d Metrik und f mon. wachsend
[mm] \le [/mm] f(d(x,z))+f(d(y,z)) da ich hoffe, dass die Ungleichung stimmt und man das auch irgendwie beweisen kann^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei b>0 fest. Setze für x [mm] \ge [/mm] 0:
g(x):= f(x+b)-f(x)-f(b)
Dann ist g(0)=0. Wegen f'' [mm] \le [/mm] 0 auf [0, [mm] \infty) [/mm] ist f' mon. fallend und somit
g'(x)= f'(x+b)-f'(x) [mm] \le [/mm] 0 für x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty
[/mm]
Ist nun a>0, so ist
f(a+b)-f(a)-f(b) = g(a)= g(a)-g(0)
Aus dem Mittelwertsatz erhalten wir ein t [mm] \in [/mm] (0,a) mit:
f(a+b)-f(a)-f(b) = a*g'(t) [mm] \le [/mm] 0.
Es folgt: f(a+b) [mm] \le [/mm] f(a)+f(b)
FRED
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