Ungleichung für unabh. Ereign. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu beweisen ist, dass für unabhängige Ereignisse [mm] A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{n} [/mm] gilt:
[mm] P(A_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{n}) [/mm] = 1 - [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1-P(A_{i})) \ge [/mm] 1 - exp( - [mm] \summe_{i=1}^{n} P(A_{i}) [/mm] ) |
Hallo,
bei der obigen Aufgabe konnte ich den ersten Teil (die Gleichheit) schon mittels vollständiger Induktion zeigen. Beim zweiten Teil jedoch (die Ungleichung) ist mir schleierhaft, woher die Exponentialfunktion kommt. Hilfreiche Ansätze sind mir also willkommen  .
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruß
Johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Zeige für Zahlen [mm] x_1, x_2, ..,x_n \in [/mm] [0,1]:
[mm] $\produkt_{i=1}^{n}(1-x_i) \le exp(-\summe_{i=1}^{n}x_i)$
[/mm]
Das kannst Du mit Induktion nach n machen. Du benötigst noch die Ungl.
$1-a [mm] \le e^{-a}$ [/mm] für a [mm] \in [/mm] [0,1]
Warum gilt diese Ungl. ?
FRED
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Danke, fred97 für die Hinweise!
Leider ergeben sich bei mir schon beim Induktionsanfang (n=2, da laut meinen Definitionen die Stochastische Unabhängigkeit für ein einziges Ereignis nicht erklärt ist) Probleme:
Seien [mm] P(A_{1}) [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] und [mm] P(A_{2}) [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] mit [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] [0,1].
Dann lautet der Induktionsanfang für n = 2:
(1 - [mm] x_{1})(1 [/mm] - [mm] x_{2}) \ge exp(-x_{1}-x_{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 - [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{1}*x_{2} \ge exp(-x_{1}-x_{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ???
Wie geht es denn dann weiter, irgendwie muss die stochastische Unabhängigkeit doch auch noch zum Tragen kommen!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke, fred97 für die Hinweise!
> Leider ergeben sich bei mir schon beim Induktionsanfang
> (n=2, da laut meinen Definitionen die Stochastische
> Unabhängigkeit für ein einziges Ereignis nicht erklärt
> ist) Probleme:
>
> Seien [mm]P(A_{1})[/mm] = [mm]x_{1}[/mm] und [mm]P(A_{2})[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] mit [mm]x_{1}, x_{2} \in[/mm]
> [0,1].
>
> Dann lautet der Induktionsanfang für n = 2:
> (1 - [mm]x_{1})(1[/mm] - [mm]x_{2}) \ge exp(-x_{1}-x_{2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 1 -
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{1}*x_{2} \ge exp(-x_{1}-x_{2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> ???
>
> Wie geht es denn dann weiter, irgendwie muss die
> stochastische Unabhängigkeit doch auch noch zum Tragen
> kommen!?
Mach doch den Induktionsanfabg bei n=1
FRED
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Der Induktionsanfang bei n=1 widerspricht aber dem wahrscheinlichkeitstheoretischen Kontext und der mir vorliegenden Definition von stochastischer Unabhängigkeit, ist dieser denn bei n=2 nicht möglich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei doch ein wenig flexibler ......
Mein Vorschlag war:
"Zeige für Zahlen $ [mm] x_1, x_2, ..,x_n \in [/mm] $ [0,1]:
(*) $ [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-x_i) \le exp(-\summe_{i=1}^{n}x_i) [/mm] $
Das kannst Du mit Induktion nach n machen. Du benötigst noch die Ungl.
$ 1-a [mm] \le e^{-a} [/mm] $ für a $ [mm] \in [/mm] $ [0,1]"
Nimm mal an, Du hättest (*) gezeigt (unabh. von irgendeinem Kontext).
Dann gilt doch auch:
(**) $ [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1-P(A_i)) \le exp(-\summe_{i=1}^{n}P(A_i)) [/mm] $
Und aus (**) folgt die Ungl. , die Du zeigen sollst.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Do 04.11.2010 | | Autor: | Jo.Hannes |
Aha, ok. Entschuldige bitte! Dann werde ich mich daran versuchen und mich ggf. wieder melden. Bis hierher erst einmal vielen Dank!
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Kurze Nachfrage: Die Ungleichung gilt aufgrund der Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Kurze Nachfrage: Die Ungleichung gilt aufgrund der
> Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion, oder?
Wenn Du diese Ungl.
$ 1-a [mm] \le e^{-a} [/mm] $
meinst, ja
FRED
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Mir ist noch nicht ganz klar, wo ich genau die Abschätzung der Exponentialfunktion einbringen kann. Kann man das Ganze auch ohne vollst. Induktion beweisen?
Die Gleichheit folgt ja direkt aus DeMorgan.
Bei der Ungleichung komme ich dann auf
[mm] \summe_{i=1}^{n}\IP(A_i)\ge 1-exp(-\summe_{i=1}^{n}\IP(A_i))
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 02.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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