Ungleichung exp < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für alle x [mm] \in \IR_+ [/mm] ist [mm] e^x [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] x * [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] |
Ich bin vollkommen ratlos, wie ich diese Aufgabe angehen könnte.
Wir haben uns auch in der Vorlesung nahezu ausschließlich mit der Exponentialfunktion im Komplexen auseinandergesetzt (Eulersche Formel, Herleitung Trigonometrie, Funktionalgleichung etc...) für die reellen Zahlen fällt mir da nur ein:
exp(-x) = 1/exp(x)
exp(x+y) = exp(x)*exp(y)...
Also das Übliche. Entweder sehe ich den Kniff nicht, oder bin völlig auf dem Holzweg.
Mit planlosem Umformen komme ich jedenfalls nicht weiter.
Hat vielleicht jemand einen Anstoß für mich?
Danke und Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Formuliere für beide Seiten der Ungleichung die entsprechenden Potenzreihen.
Es gilt ja: [mm] $e^z [/mm] \ := \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Loddar,
danke sehr, damit habe ich schon einmal einen Ansatz, der nicht sofort im Sande verläuft. Super. 
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[mm] e^x [/mm] - 1 [mm] \ge x*e^{\bruch{x}{2}} [/mm]
[mm] \gdw \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] x * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(\bruch{x}{2})^n}{n!}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \ge \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}\bruch{x^{n+1}}{n!}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} \ge \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}\bruch{x^{n+1}}{n!} [/mm] + x
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}\bruch{x^{n+1}}{n!} \ge [/mm] x
und da beide Reihen absolut konvergieren
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{n+1}}{2^n * n!} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] x
So, jetzt steht da schon eine vergleichsweise handliche Ungleichung.
Wenn man die Summe ausschreibt, sieht man auch schnell, worauf das hinausläuft:
x - x²/2 + n²/2 - x³/8 + x³/6 -+-... = x + 0 + x³/24 + ...
Nur wie geht man geschickterweise weiter vor, um das auch ordentlich zu zeigen?
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] x^n (\bruch{1}{n!} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2^n * n!} [/mm] ) [mm] \ge [/mm] x
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty} x^n (\bruch{2^n-x}{2^n*n!}) \ge [/mm] x ?
Da sehe ich jetzt keinen Fortschritt.
Im Prinzip müsste ich das ja "nur" dahingehend abschätzen, dass ich eine echte Teleskopsumme bekomme - und nicht diesen schiefen Verschnitt.
Bloß: Wie schätze ich das geschickt ab?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{n+1}}{2^n * n!} [/mm] ) [mm] \ge \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] )
wäre beispielsweise glatt falsch, auch wenn mir das Ergebnis gut gefällt. ^^
Hier stehe ich gerade leider wieder mal komplett auf dem Schlauch. Ich habe deshalb meine gesamten Gedanken und Überlegungen mal hier eingestellt, vielleicht kann da jemand was mit anfangen und mir auf die Sprünge helfen. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Ich habe einfach mal beide Reihen aufgeschrieben und auf beiden Seiten zusammengefasst.
Anschließend kann man dan das Ungleichheitszeichen schnell mittels Koeffizientenvergleich (für positive $x_$!) zeigen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mo 29.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ok, das funktioniert. Ich halte meinen Weg allerdings für deutlich kürzer. Oder übersehe ich eine einfache Möglichkeit, diesen hier zu raffen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
Ich erhalte nach dem Zusammenfassen:
[mm] $$x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^4}{24}+... [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{8}+\bruch{x^4}{48}+...$$
[/mm]
Und der Wahrheitsgehalt dieser Ungleichung für positive $x_$ springt einem ja förmlich ins Gesicht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo ihr zwei,
danke für eure Mühen, es ist doch ganz interessant, wie vielfältig man an manche Probleme herangehen kann.
Den Ansatz von reverend empfinde ich als ziemlich elegant, aber ich glaube, das ist Geschmackssache.
Der von Loddar ist in der Tat kürzer, das Problem ist nur:
So sehr einem das "ins Gesicht springt", das verklebt mir dermaßen die Augen, dass ich einen formellen Beweis ohne "Pünktchen"schreibweise nicht sehe, bzw. hinkriege.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Hier dann meine obige Ungleichung ohne Pünktchen (und auch ohne Anton ):
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k!*2^k}$$
[/mm]
Nun sollte mans aber wirklich erkennen, da für jeden Summand bzw. Koeffizient gilt:
[mm] $$\bruch{1}{k!} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{k!} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2^k}*\bruch{1}{k!}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
ist gebrochen.
Unglaublich, dass ich die rechte Seite von
x* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{2^n n!} [/mm]
nicht auf
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{2^n n!} [/mm]
sondern lediglich auf
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n+1}}{2^n n!} [/mm] + x
umgeformt und danach den Beweis nicht hinbekommen habe.
Nunja. Danke. Manchmal hängt man an den kuriosesten Stellen fest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mo 29.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, klar. Der letzte Schritt ist übersichtlich. Nur bis man da ist, scheint mir der Weg halt lang. Naja, länger.
Letztlich ist das aber egal. Hauptsache, es gibt einen Lösungsweg. Manchmal ist ein anderer nur halb so lang, aber auch das ist noch kein Unterschied in der Größenordnung. Nicht nur bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, sondern z.B. manchmal auch von Reihen gibt es da wesentlich größere Abweichungen.
lg,
reverend
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Hallo Tobias,
Du bist doch sonst ein Meister der Umformungen. Hier hast Du offenbar gerade ein Brett vor dem Kopf.
> Zeigen Sie:
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> Für alle x [mm]\in \IR_+[/mm] ist [mm]e^x[/mm] - 1 [mm]\ge[/mm] x * [mm]e^{\bruch{x}{2}}[/mm]
> Ich bin vollkommen ratlos, wie ich diese Aufgabe angehen
> könnte.
Definiere [mm] f(x):=e^x-x\wurzel{e^x}-1
[/mm]
Wenn die Behauptung stimmt, ist [mm] f(x)\ge0\ \forall\ x\ge0, x\in\IR
[/mm]
[mm] \a{}f(0)=0. [/mm] Wenn [mm] \a{}f(x) [/mm] nun monoton wachsend ist, stimmt auch die Behauptung.
Und das ist mit der ersten Ableitung und Loddars Tipp zusammen ganz einfach zu beweisen. Du hast dann nur noch eine Reihenentwicklung, und die ersten beiden Glieder tauchen auch nochmal auf...
lg,
reverend
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