Ungleichung beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Di 12.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | | Seien a; b; c > 0 positive reelle Zahlen. Beweisen Sie, dass dann die Ungleichung [mm] \wurzel{\bruch{a^2+b^2+c^2}{3}} \le \wurzel[3]{\bruch{a^3+b^3+c^3}{3}} [/mm] gilt. |
Hallo erstmal und danke für Eure Hilfe schon mal! :)
Ich habe heute mit zwei Kommilitonen ewig versucht, diese Aufgabe zu lösen aber wir kommen wirklich nicht weiter. Wir haben bereits im ersten Teil durch umformen gezeigt, dass (a+b+c)/3 kleiner gleich dem ersten Teil der Ungleichung ist. Wenn wir jetzt aber umformen (z.B. auf beiden Seiten ^6) kommen wir absolut auf keinen grünen Zweig mehr und haben keine Idee wie es weitergehen könnte. Habt ihr Ideen/ Lösungshilfen? Sind für jeden Tipp dankbar! Danke und Gruß
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien a; b; c > 0 positive reelle Zahlen. Beweisen Sie,
> dass dann die Ungleichung [mm]\wurzel{\bruch{a^2+b^2+c^2}{3}} \le \wurzel[3]{\bruch{a^3+b^3+c^3}{3}}[/mm]
> gilt.
> Hallo erstmal und danke für Eure Hilfe schon mal! :)
> Ich habe heute mit zwei Kommilitonen ewig versucht, diese
> Aufgabe zu lösen aber wir kommen wirklich nicht weiter.
> Wir haben bereits im ersten Teil durch umformen gezeigt,
> dass (a+b+c)/3 kleiner gleich dem ersten Teil der
> Ungleichung ist. Wenn wir jetzt aber umformen (z.B. auf
> beiden Seiten ^6) kommen wir absolut auf keinen grünen
> Zweig mehr
warum nicht? Da alles $> [mm] 0\,$ [/mm] ist, gilt die Ungleichung genau dann, wenn
[mm] ${linkeSeite}^6 \;\le\;{rechteSeite}^6\,.$
[/mm]
Es bleibt also
[mm] $\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)^3\;\le\;\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)^2$
[/mm]
nachzuweisen (ob es eleganter geht, weiß ich gerade nicht).
Das bedeutet wiederum, dass man
[mm] ${(a^2+b^2+c^2)}^3\;\le\;3*{(a^3+b^3+c^3)}^2$
[/mm]
begründen muss (diese ist zwar sogar äquivalent zur vorangegangenen,
aber damit implizert sie insbesondere die vorangegangene Ungleichung,
was hier das Wichtigere ist!).
Letzteres ist wiederum gleichbedeutend mit
[mm] ${(a^2+b^2)}^3+3(a^2+b^2)^2*{(c^2)}^1+3(a^2+b^2)^1*{(c^2)}^2+{(c^2)}^3\;\le\;3*\left\{{(a^3+b^3)}^2+2*(a^3+b^3)*c^3+{(c^3)}^2\right\}$
[/mm]
usw. usf.
Da sollte doch am Ende - hoffentlich - was "übersichtliches" rauskommen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Di 12.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
Danke für deine schnelle Antwort, Marcel! :)
Also ich habe das jetzt gerade nochmal probiert auszurechnen und bekomme riesen Terme, bei denen auf der linken Seite vom kleiner gleich Terme mit hoch2, hoch4 und hoch6 vorkommen, auf der rechten aber auch solche mit hoch3. Sobald man das auf eine Seite bringt und quasi zeigen will, dass es kleiner gleich bzw größer gleich 0 ist (je nach Umformen) komme ich aber wirklich nicht weiter. Man kann nicht geschickt ausklammern und es fallen auch keine Terme raus, wenn ich das richtig gesehen habe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 12.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich hätte auch diesen Weg vorgeschlagen. Vielleicht gibt es einen schnelleren. Derzeit aber schlage ich vor, nun mal in Ruhe alles hinzuschreiben und zu vergleichen. Ich würde erst einmal keine anderen Umformungen vornehmen ("auf die andere Seite bringen") sondern nach Potenzen sortiert mir das ansehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chrisno,
> Ich hätte auch diesen Weg vorgeschlagen. Vielleicht gibt
> es einen schnelleren. Derzeit aber schlage ich vor, nun mal
> in Ruhe alles hinzuschreiben und zu vergleichen. Ich würde
> erst einmal keine anderen Umformungen vornehmen ("auf die
> andere Seite bringen") sondern nach Potenzen sortiert mir
> das ansehen.
ich persönlich denke, dass man am Ende am besten sowas wie
[mm] $\text{ist dieser Term wirklich }\ge\; [/mm] 0$
stehen hat - Potenzen vergleichen kann aber auch helfen.
Aber weiterrechnen wird (bei diesem Weg) wohl nicht ausbleiben.
Übrigens heißt das nicht, dass ich damit recht habe. Nur so rein vom
Gefühl her, bzw. weil ich mich einfach an der Aufgabe:
"Zeigen Sie, dass für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt
$x+1/x [mm] \ge 2\,.$"
[/mm]
orientiere bzw. an sie erinnere, denke ich, dass bei der obigen Aufgabe
am Ende etwas ähnliches "erkannt werden könnte".
Ich war aber bisher auch zu faul zum Weiterrechnen. 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mi 13.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Wenn Ihr die Hölder- Ungleichung hattet, so schau mal hier unter "Äquivalenz":
http://de.wikipedia.org/wiki/P-Norm.
Dort wird, im Falle n=3 unter anderem gezeigt:
[mm] \wurzel[]{a^2+b^2+c^2} \le \wurzel[6]{3}*\wurzel[3]{a^3+b^3+c^3}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mi 13.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
@fred: Hölder-Ungleichung sagt mir gar nichts. Aber danke trotzdem für den Tipp, sehr nett!
@Marcel, chrisno: Also ich hab heute nochmal alles gerechnet und hingeschrieben. Dann sowohl Potenten und Koeffizienten vergleichen und auch versucht alles auf eine Seite zu bringen, alles ohne viel Erfolg. Heute reicht es nicht mehr, aber morgen lade ich meine Idee mal hoch, wenn ihr Lust habt, könnt ihr es ja dann mal anschauen. Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> @fred: Hölder-Ungleichung sagt mir gar nichts. Aber danke
> trotzdem für den Tipp, sehr nett!
> @Marcel, chrisno: Also ich hab heute nochmal alles
> gerechnet und hingeschrieben. Dann sowohl Potenten und
> Koeffizienten vergleichen und auch versucht alles auf eine
> Seite zu bringen, alles ohne viel Erfolg. Heute reicht es
> nicht mehr, aber morgen lade ich meine Idee mal hoch, wenn
> ihr Lust habt, könnt ihr es ja dann mal anschauen. Gruß
klar, da gucke ich gerne bei Gelegenheit drüber, wenn es bis dahin
niemand anderes getan hat.
Zu Hölder:
![[]](/images/popup.gif) Satz 7.15
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:04 Di 19.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
Also, ich bin leider erst heute dazugekommen, hier alles hereinzuschreiben, bin total im Stress, sorry!
Bisher habe ich nun nach dem Ausrechnen
[mm] a^6 + b^6 + c^6 + a^4(3b^2+3c^2) + b^4(3a^2+3c^2) + c^4(3a^2+3b^2) + 6a^2b^2c^2 \le 3a^6 + 3b^6 + 3c^6 + 9a^3b^3 + 6 b^3c^3 + 3a^3c^3 [/mm]
Das haben wir nun schon etliche Male umgeformt usw., versucht Koeffizienten und Exponenten zu vergleichen, anders auszuklammern, alles auf eine Seite zu bringen usw. Alles ohne Erfolg.
Vielleicht könnt ihr diesen Ansatz nochmals betrachten.
Danke und lieben Gruß
PS: Nach wie vor sind wir dankbar für jede Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Di 19.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
Dass die Potenzen mit ^6 miteinander verglichen werden können, ist uns bewusst, aber am Rest hakts.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Di 19.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kai,
ich werde so schnell vermutlich nicht dazu kommen, weiter nachzurechnen,
ob sich die Aussage elementar (also öhne Hölder) "durch Rechnen" beweisen
läßt. Aber unabhängig davon:
Hier:
$ [mm] a^6 [/mm] + [mm] b^6 [/mm] + [mm] c^6 [/mm] + [mm] a^4(3b^2+3c^2) [/mm] + [mm] b^4(3a^2+3c^2) [/mm] + [mm] c^4(3a^2+3b^2) [/mm] + [mm] 6a^2b^2c^2 \le 3a^6 [/mm] + [mm] 3b^6 [/mm] + [mm] 3c^6 [/mm] + [mm] 9a^3b^3 [/mm] + 6 [mm] b^3c^3 [/mm] + [mm] 3a^3c^3 [/mm] $
läßt man sowas nicht da stehen - man würde da auch noch nicht "Potenzen
hoch 6" vergleichen, sondern erstmal diese zusammenfassen:
$ [mm] a^6 [/mm] + [mm] b^6 [/mm] + [mm] c^6 [/mm] + [mm] a^4(3b^2+3c^2) [/mm] + [mm] b^4(3a^2+3c^2) [/mm] + [mm] c^4(3a^2+3b^2) [/mm] + [mm] 6a^2b^2c^2 \le 3a^6 [/mm] + [mm] 3b^6 [/mm] + [mm] 3c^6 [/mm] + [mm] 9a^3b^3 [/mm] + 6 [mm] b^3c^3 [/mm] + [mm] 3a^3c^3 [/mm] $
[mm] $\iff$
[/mm]
$ [mm] a^4(3b^2+3c^2) [/mm] + [mm] b^4(3a^2+3c^2) [/mm] + [mm] c^4(3a^2+3b^2) [/mm] + [mm] 6a^2b^2c^2 \le 2a^6 [/mm] + [mm] 2b^6 [/mm] + [mm] 2c^6 [/mm] + [mm] 9a^3b^3 [/mm] + 6 [mm] b^3c^3 [/mm] + [mm] 3a^3c^3 [/mm] $
Und dann, nach wie vor, würde ich erstmal alles auf eine Seite bringen:
[mm] $\iff$
[/mm]
$0 [mm] \le 2a^6 [/mm] + [mm] 2b^6 [/mm] + [mm] 2c^6 [/mm] + [mm] 9a^3b^3 [/mm] + 6 [mm] b^3c^3 [/mm] + [mm] 3a^3c^3 [/mm] - [mm] a^4(3b^2+3c^2) [/mm] - [mm] b^4(3a^2+3c^2) [/mm] - [mm] c^4(3a^2+3b^2) [/mm] - [mm] 6a^2b^2c^2$
[/mm]
Und bevor ich mir jetzt hier weiter Gedanken mache, ob diese Ungleichung
stets (für echt positive Zahlen [mm] $a,b,c\,$ [/mm] sollte das, glaube ich, sein?!)
erfüllt ist, rechne ich auch lieber nachher erstmal nach, dass bis dahin kein
Rechenfehler passiert ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mi 20.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
Vielen Dank dir, aber keinen Stress, eilt ja nicht unmittelbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Do 21.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich hatte gehofft, da mehr "zu sehen", in dem Sinne, dass ich eine gute Idee bekomme, sobald die Terme mal hingeschrieben sind. Ich habe Zweifel, dass das Ergebnis korrekt ist, da der rechte Term nicht die Symmetrie des Ausgangsterms hat.
Eine Möglichkeit, die Aufgabe anzugehen, ist dem Link zu folgen und den dort aufgeführten Beweis auf diesen Spezialfall zu reduzieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hatte gehofft, da mehr "zu sehen", in dem Sinne, dass
> ich eine gute Idee bekomme, sobald die Terme mal
> hingeschrieben sind. Ich habe Zweifel, dass das Ergebnis
> korrekt ist, da der rechte Term nicht die Symmetrie des
> Ausgangsterms hat.
ich habe auch was anderes nachgerechnet:
Äquivalent zur Ausgangsungleichung ist gemäß meiner Rechnung
$0 [mm] \;\;\le\;\;(a^3+b^3)^2+(a^3+c^3)^2+(b^3+c^3)^2+4a^3b^3+4a^3c^3+4b^3c^3-6a^2b^2c^2-3a^2b^4-3a^4b^2-3b^2c^4-3b^4c^2-3a^2c^4-3a^4c^2$
[/mm]
Aber auch ich bin nicht frei von Fehlern... Also: Wer mag, soll das bitte
nochmal nachrechnen!
edit: ich sehe gerade, dass ich in meinem Aufschrieb vorher erst etwas
anderes stehen hatte, und das dann zu obigem umgeformt habe:
[mm] $0\;\;\le\;\;2a^6+2b^6+2c^6+6a^3b^3+6a^3c^3+6b^3c^3-6a^2b^2c^2-3a^2b^4-3a^4b^2-3b^2c^4-3b^4c^2-3a^2c^4-3a^4c^2$
[/mm]
Auf jeden Fall sieht das alles "symmetrisch" aus!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 21.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also, ich bin leider erst heute dazugekommen, hier alles
> hereinzuschreiben, bin total im Stress, sorry!
>
> Bisher habe ich nun nach dem Ausrechnen
>
> [mm]a^6 + b^6 + c^6 + a^4(3b^2+3c^2) + b^4(3a^2+3c^2) + c^4(3a^2+3b^2) + 6a^2b^2c^2 \le 3a^6 + 3b^6 + 3c^6 + 9a^3b^3 + 6 b^3c^3 + 3a^3c^3[/mm]
bei mir kommt da
$ [mm] 0\;\;\le\;\;2a^6+2b^6+2c^6+6a^3b^3+6a^3c^3+6b^3c^3-6a^2b^2c^2-3a^2b^4-3a^4b^2-3b^2c^4-3b^4c^2-3a^2c^4-3a^4c^2 [/mm] $
raus. (Deine "..³..³"-Terme sehen komisch aus!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich hätte noch eine Idee:
Wir definieren $f(u,v,w):= u^3+v^3+w^3.$
Mit der Multiplikatorenregel von Lagrange rechnet man nach: f hat unter der Nebenbedingung u^2+v^2+w^2=1 ein Minimum in
$(\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})$
mit:
f(u,v,w) \ge f(\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})=\bruch{1}{\wurzel{3}} für alle $(u,v,w) \in \IR^3$ mit u^2+v^2+w^2=1.
Sei nun $(a,b,c) \in \IR^3$ mit $a,b,c>0$
Setze $N:=\wurzel{a^2+b^2+c^2}$ und $(u,v,w):=\bruch{1}{N}(a,b,c)$
Dann ist u^2+v^2+w^2=1. Mit obigem folgt:
$\wurzel{3}} \le f(u,v,w)=\bruch{a^3+b^3+c^3}{N^3}$
Daraus folgt dann
$ \wurzel{\bruch{a^2+b^2+c^2}{3}} \le \wurzel[3]{\bruch{a^3+b^3+c^3}{3}} $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Do 21.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
endlich eine elegante Lösung! Wenn nicht gar egelant.
Ich frage mich schon länger, warum die Aufgabe eigentlich bei "Analysis" steht. Wahrscheinlich gibt es sogar einen Ansatz, der noch elementarer und entsprechend einfach ist. Viel kürzer wird die Lösung aber wohl auch dann nicht ausfallen.
Das Herumrechnen mit ausmultiplizierten Trinomen scheint mir jedenfalls nicht hilfreich zu sein.
Mein Tipp wäre Monotonie.
Erstmal [mm] \wurzel{a^2}\le\wurzel[6]{3}\wurzel[3]{a^3} [/mm] zeigen (elementar einfach).
Dann b dazunehmen; schließlich noch c.
Es wird reichen zu zeigen, dass die Ableitung der Funktion auf der rechten Seite größer ist als die der Funktion auf der linken Seite, natürlich in Verbindung mit der Feststellung, dass für a=0 (entsprechend später für b=0 bzw. c=0) die Funktionswerte auf beiden Seiten gleich sind.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Fr 22.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> endlich eine elegante Lösung! Wenn nicht gar egelant.
>
> Ich frage mich schon länger, warum die Aufgabe eigentlich
> bei "Analysis" steht. Wahrscheinlich gibt es sogar einen
> Ansatz, der noch elementarer und entsprechend einfach ist.
> Viel kürzer wird die Lösung aber wohl auch dann nicht
> ausfallen.
>
> Das Herumrechnen mit ausmultiplizierten Trinomen scheint
> mir jedenfalls nicht hilfreich zu sein.
>
> Mein Tipp wäre Monotonie.
> Erstmal [mm]\wurzel{a^2}\le\wurzel[6]{3}\wurzel[3]{a^3}[/mm] zeigen
> (elementar einfach).
>
> Dann b dazunehmen; schließlich noch c.
> Es wird reichen zu zeigen, dass die Ableitung der Funktion
> auf der rechten Seite größer ist als die der Funktion auf
> der linken Seite, natürlich in Verbindung mit der
> Feststellung, dass für a=0 (entsprechend später für b=0
> bzw. c=0) die Funktionswerte auf beiden Seiten gleich
> sind.
Hallo reverend,
möglicherweise hab ich heute morgen Tomaten auf den Augen (gestern Abend hatte ich 3 Gläser Riesling ...), aber könntest Du obiges bitte vormachen. Vielleicht funktioniert Deine Idee, nur sehe ich das nicht ...
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Fr 22.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> > Mein Tipp wäre Monotonie.
> > Erstmal [mm]\wurzel{a^2}\le\wurzel[6]{3}\wurzel[3]{a^3}[/mm]
> zeigen
> > (elementar einfach).
> >
> > Dann b dazunehmen; schließlich noch c.
> > Es wird reichen zu zeigen, dass die Ableitung der Funktion
> > auf der rechten Seite größer ist als die der Funktion auf
> > der linken Seite, natürlich in Verbindung mit der
> > Feststellung, dass für a=0 (entsprechend später für b=0
> > bzw. c=0) die Funktionswerte auf beiden Seiten gleich
> > sind.
>
> Hallo reverend,
>
> möglicherweise hab ich heute morgen Tomaten auf den Augen
> (gestern Abend hatte ich 3 Gläser Riesling ...),
Dafür hatte ich gestern die Tomaten. Vielleicht sollte ich mal einen Riesling suchen gehen.
> aber
> könntest Du obiges bitte vormachen. Vielleicht
> funktioniert Deine Idee, nur sehe ich das nicht ...
Sie funktioniert nicht.
Hier ein Gegenbeispiel mit b=1, c=0:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schade eigentlich.
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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