Ungleichung beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Di 18.10.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo!
Ich muss folgende Ungleichung beweisen, komme dabei aber nicht weiter.
[mm]\frac{\vert x+y\vert}{1+\vert x+y\vert}\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}+\frac{\vert y\vert}{1+\vert y\vert}[/mm] |
Ich habe keine besondere Idee; spontan fällt mir nur ein, daß [mm]\vert x+y\vert\leq\vert x\vert+\vert y\vert[/mm] (Dreiecksungleichung), sodaß ich allenfalls
[mm]\frac{\vert x+y\vert}{1+\vert x+y\vert}\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x+y\vert}+\frac{\vert y\vert}{1+\vert x+y\vert}[/mm]
hinbekomme.
Nun stecke ich fest und komme nicht weiter.
Könnte mir bitte jemand einen Tipp fürs weitere Vorgehen geben? Das wäre sehr nett!
Beste Grüße
mikexx
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich muss folgende Ungleichung beweisen, komme dabei aber
> nicht weiter.
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> [mm]\frac{\vert x+y\vert}{1+\vert x+y\vert}\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}+\frac{\vert y\vert}{1+\vert y\vert}[/mm]
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> Ich habe keine besondere Idee; spontan fällt mir nur ein,
> daß [mm]\vert x+y\vert\leq\vert x\vert+\vert y\vert[/mm]
> (Dreiecksungleichung), sodaß ich allenfalls
>
> [mm]\frac{\vert x+y\vert}{1+\vert x+y\vert}\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x+y\vert}+\frac{\vert y\vert}{1+\vert x+y\vert}[/mm]
>
> hinbekomme.
>
> Nun stecke ich fest und komme nicht weiter.
>
> Könnte mir bitte jemand einen Tipp fürs weitere Vorgehen
> geben? Das wäre sehr nett!
>
>
> Beste Grüße
>
> mikexx
Setze [mm] f(t):=\bruch{t}{1+t} [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 0 und zeige, dass f wachsend ist.
Dann folgt:
$f(|x+y|) [mm] \le [/mm] f(|x|+|y|)$, also
$ [mm] \frac{\vert x+y\vert}{1+\vert x+y\vert}\leq\frac{\vert x\vert}{1+|x|+|y|}+\frac{\vert y\vert}{1+|x|+|y|} [/mm] $
Jetzt mach Du mal weiter.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Di 18.10.2011 | | Autor: | dennis2 |
Alternativ vielleicht so:
Es gilt für alle [mm]c, d\geq 0[/mm]:
[mm]c\leq d\Rightarrow \frac{c}{1+c}\leq\frac{d}{1+d}[/mm].
Setze
[mm]c:=\vert x+y\vert[/mm]
[mm]d:=\vert x\vert+\vert y\vert[/mm],
dann gilt wegen der Dreiecksungleichung
[mm]c\leq d[/mm] und Du kannst obige Ungleichung sofort anwenden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Alternativ vielleicht so:
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> Es gilt für alle [mm]c, d\geq 0[/mm]:
>
> [mm]c\leq d\Rightarrow \frac{c}{1+c}\leq\frac{d}{1+d}[/mm].
>
>
> Setze
>
> [mm]c:=\vert x+y\vert[/mm]
>
> [mm]d:=\vert x\vert+\vert y\vert[/mm],
>
> dann gilt wegen der Dreiecksungleichung
>
> [mm]c\leq d[/mm] und Du kannst obige Ungleichung sofort anwenden.
>
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Hab ich in meiner Antwort irgend etwas anderes gesagt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 18.10.2011 | | Autor: | dennis2 |
Entschuldigung, ich war zu langsam!
Ich habe geantwortet und da hattest Du Deine Antwort schon fertig.
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