Ungleichung beweisen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Sa 04.10.2008 | | Autor: | sm- |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen x und h mit h < 8x die Ungleichungen
[mm] \wurzel{x} [/mm] + [mm] h/(2\wurzel{x}) [/mm] - [mm] h^2/ (8x\wurzel{x}) [/mm] < [mm] \wurzel{(x+h)} [/mm] < [mm] \wurzel{x} [/mm] + [mm] h/(2\wurzel{x})
[/mm]
gelten.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
also, ich habe das gefühl wie blind um die Lösung zu schleichen und nicht wirklich das richtige zu finden, ich habe einige ansätze gemacht, ich denke das auch die Bedingungen recht entscheident sind, also ich habe die ungleichung erstmal "aufgeteilt" und aus dem ersten Teil wegen h<8x folgende Abschätzungen gewonnen:
[mm] h^2/(8x\wurzel{x} [/mm] ) = h/8x * [mm] h/\wurzel{x} [/mm] wobei 0 < h/8x < 1 gelten muß, also sich 0 < [mm] h^2/(8x\wurzel{x} [/mm] ) < [mm] h/\wurzel{x} [/mm] ergibt.
ich denke, dass das an sich schon in die richtige richtung geht, aber irgendwie komm ich nicht weiter...
umformungen verschiedenster Art haben mich irgendwie nicht weiter gebracht, aber vielleicht hab ich ja auch da irgendwelche fehler gemacht.
Also an alle die sich damit befassen schon mal vielen dank für die Hilfe und Tipps und Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt .(...wenn ich das noch tue hoff ich das hier auch korregieren zu können, aber da noch etwas zeit für die aufgabe ist, will ich das im moment noch nicht ausschließen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 So 05.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Benutze den Mittelwertsatz. Z.b. erhält man die rechte Ungleichung wie folgt:
$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\overset{\text{MWS}}{=}\frac{1}{2\sqrt{\xi}$ mit $\xi\in(x,x+h)$, also hat man die Abschätzung $\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}<\frac{1}{2\sqrt{x}}\gdw\sqrt{x+h}<\sqrt{x}+\frac{h}{2\sqrt{x}$
Gruß, Robert
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