Ungleichung bestimmen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 23.10.2012 | | Autor: | haner |
| Aufgabe | Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung:
[mm] x^3-pix^2 [/mm] < x-pi |
Hallo,
soll diese Ungleichung lösen.
Ich hab zuerst mal umgestellt und dann eine Polynomdivision durchgeführt.
Erhalten habe ich nun:
[mm] x^2+x-pix-pi [/mm] < 0 Stimmt das?
Angenommen ich habe den ersten Schritt richtig gemacht, wie ache ich jetzt weiter?
Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß haner
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo haner und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Das pi soll [mm] \pi [/mm] sein?
> Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung:
> [mm]x^3-pix^2[/mm] < x-pi
> Hallo,
> soll diese Ungleichung lösen.
> Ich hab zuerst mal umgestellt und dann eine
> Polynomdivision durchgeführt.
> Erhalten habe ich nun:
> [mm]x^2+x-pix-pi[/mm] < 0 Stimmt das?
Durch was hast du denn dividiert, da komme ich irgendiwe nicht ganz mit. Auch ist die Polynomdivision bei Ungleichungen mit Vorsicht zu genießen, bedenke, dass du da durch einen Term dividierst. Während man da bei Gleichungen wissen sollte, dass dieser Term ungleich Null ist, sollte man bei Ungleichungen auch noch sin Vorzeichen kennen, sonst ist eine Fallunterscheidung notwendig. Die ist zwar hier auf jeden Fall nötig, aber ich würde das per Faktorisierung angehen, dann ist es übersichtlicher.
> Angenommen ich habe den ersten Schritt richtig gemacht,
> wie ache ich jetzt weiter?
Was du richtig gemacht hast, ist alles auf eine Seite zu bringen:
[mm] x^3-\pi*x^2-x+\pi<0
[/mm]
Jetzt kann man faktorisieren. Zunächst kannst du aus den ersten und den letzen beiden Summanden die Differenz [mm] (x-\pi) [/mm] herausziehen:
[mm] (x-\pi)*x^2-(x-\pi)<0
[/mm]
Daraus lässt sich jetzt insgesamt [mm] (x-\pi) [/mm] ausklammern und auf den entstehenden Faktor noch die 3. binomische Formal anwenden. Dann hast du den kompletten Term faktosisiert und kannst dir in aller Ruhe diejenigen Fälle überlegen, die auf der linken Seite zu einem negativen Vorzeichen führen und damit die Ungleichung erfüllen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 24.10.2012 | | Autor: | haner |
Hi,
erstmal danke für deine Mühe.
Ich komme allerdings nicht weiter.
Hab jetzt folgendes gemacht:
[mm] (x-pi)*(-1+x^2) [/mm] < 0
Da muss ich doch was falsch gemacht haben, denn hier kann ich doch keine 3. bin. Formel anwenden.
Gruß haner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 24.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> erstmal danke für deine Mühe.
> Ich komme allerdings nicht weiter.
> Hab jetzt folgendes gemacht:
> [mm](x-pi)*(-1+x^2)[/mm] < 0
> Da muss ich doch was falsch gemacht haben, denn hier kann
> ich doch keine 3. bin. Formel anwenden.
Doch: [mm] -1+x^2=x^2-1=(x-1)(x+1)
[/mm]
FRED
>
> Gruß haner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mi 24.10.2012 | | Autor: | haner |
Stimmt, da hatte ich wohl Tomaten vor den Augen.
Muss ich jetzt drei Fälle unterscheiden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Mi 24.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Stimmt, da hatte ich wohl Tomaten vor den Augen.
> Muss ich jetzt drei Fälle unterscheiden?
>
Nein, das kannst du mit ein wenig "Nachdenken" ersparen.
"Rechnen" musst du hier eigentlich gar nicht mehr.
Du hast:
[mm] (x-\pi)\cdot(x-1)\cdot(x+1)<0
[/mm]
Damit diese Ungleichung erfüllt ist, müssen entweder alle drei Faktoren kleiner als Null sein, oder genau einer der Faktoren.
Überlege vielleicht erstmal, welche Werte die Gleichung
[mm] (x-\pi)\cdot(x-1)\cdot(x+1)\red{=}0 [/mm] erfüllen, damit hast du dann schonmal die Intervalle, hier sind es 5, die du betrachten solltest.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mi 24.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
> Überlege vielleicht erstmal, welche Werte die Gleichung
> [mm](x-\pi)\cdot(x-1)\cdot(x+1)\red{=}0[/mm] erfüllen, damit hast
> du dann schonmal die Intervalle, hier sind es 5, die du
> betrachten solltest.
Ich sehe da "nur" vier Intervalle.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 24.10.2012 | | Autor: | haner |
Also die Gleichung ist für die Werte pi, 1 und -1 erfüllt.
Aber wie mache ich weiter?
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Hallo, betrachte die Funktion dritten Grades [mm] f(x)=(x-\pi)*(x-1)*(x+1), [/mm] die Nullstellen hast du ja schon, -1, 1, [mm] \pi, [/mm] weiterhin geht für x gegen minus unendlich f(x) auch gegen minus unendlich, für x gegen unendlich geht f(x) gegen unendlich, jetzt reicht eine Skizze, trage die Nullstellen in ein Koordinatensystem ein, skizziere die Funktion, dann kannst du die Intervalle ablesen, für die f(x)<0 ist, somit ist deine gegebene Ungleichung gelöst, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 24.10.2012 | | Autor: | haner |
Ok,
Dann wird die Ungleichung für die Intervalle
I1= (-unendlich;-1]
I2= [1;pi]
erfüllt?
Wie schreibe ich das als Lösungsmenge?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 24.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ok,
> Dann wird die Ungleichung für die Intervalle
> I1= (-unendlich;-1]
> I2= [1;pi]
> erfüllt?
Fast, die -1 ist nicht mehr im ersten Intervall enthalten, das zweite Intervall enthält die 1 und [mm] \pi [/mm] ebenfalls nicht.
> Wie schreibe ich das als Lösungsmenge?
[mm]\mathbb{L}=\{x\in\IR|x\in(\infty;-1)\wedge x\in(1;\pi)\}[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mi 24.10.2012 | | Autor: | haner |
Dann nochmal vielen Dank an alle die mir weitegeholfen haben.
Gruß haner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mi 24.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Dann nochmal vielen Dank an alle die mir weitegeholfen
> haben.
>
> Gruß haner
Mach dich unbedingt mit der Klammerung bei der Intervallschribweise vertraut.
Eine Eckige Klammer an der Intevallgrenze bedeutet, dass diese Grenze noch mit im Intervall liegen soll, eine Runde bedeutet, dass diese Grenze gerade nicht mehr im Intervall liegen soll.
[a;b] ist also das Intervall zwischen a und b, die Grenzen liegen aber jeweils noch im Intervall, also:
[mm] $x\in[a;b]\leftrightarrow\{x \in \mathbb{R}|a\leq x\leq b\}$
(a;b) bedeutet, dass die Grenzen gerade nicht mehr im Intervall liegen, also:
$x\in(a;b)\leftrightarrow\{x \in \mathbb{R}|a< x< b\}$
Natürlich sind auch die Mischformen erlaubt:
$x\in[a;b)\leftrightarrow\{x \in \mathbb{R} |a\leq x< b\}$
und
$x\in(a;b]\leftrightarrow\{x \in \mathbb{R}|a< x\leq b\}$
Marius
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mi 24.10.2012 | | Autor: | haner |
Nochmal danke für deinen Hinweis.
Ja das hab ich wohl vertauscht, aber jetzt kann ich es mir merken.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:01 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
da ist dir wohl ein Maustippfehler im Formeleditor unterlaufen. Es muss richtig
$ [mm] \mathbb{L}=\{x\in\IR|x\in(\infty;-1)\vee x\in(1;\pi)\} [/mm] $
heißen.
Gruß, Diophant
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