Ungleichung Summe Potenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Di 23.11.2010 | | Autor: | Fusel |
Hallo!
Ich bräuchte für eine Abschätzung die Ungleichung
[mm] (a+b)^r \le a^r +b^r [/mm] für reelle r [mm] \in [/mm] (0,1], a,b [mm] \in \IR^+.
[/mm]
Ich weiß jedoch nicht sicher, ob diese Ungleichung gilt und versuche sie zurzeit zu zeigen. Zuerst möchte ich es für rationale r zeigen um dann über den Grenzwert das Resultat für reelle r zu erhalten.
Sei also r [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] \in [/mm] (0,1]. Dann existieren k,m [mm] \in \IN [/mm] mit k [mm] \le [/mm] m: r = k/m.
Zu zeigen ist also [mm] (a+b)^\bruch{k}{m} \le a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m} [/mm] bzw. [mm] (a+b)^k \le (a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m})^m
[/mm]
Ich habe gezeigt, dass gilt:
[mm] (a+b)^\bruch{1}{m} \le a^\bruch{1}{m} [/mm] + [mm] b^\bruch{1}{m}
[/mm]
und
[mm] (a+b)^k \ge a^k [/mm] + [mm] b^k
[/mm]
Die Behauptung ist mit dem Binomischen Lehrsatz äquivalent zu:
[mm] a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm] + [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm] + [mm] \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l [/mm]
[mm] \gdw \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l [/mm]
[mm] \gdw \summe_{l=1}^{k-1}(\vektor{m \\ l}a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m}-\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l [/mm] )+ [mm] \summe_{l=k}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m} \ge [/mm] 0
Nur hier weiß ich wirklich nciht wie ich weiter machen soll um auf etwas wahres zu kommen.
Hat vielleicht jemand eine Idee?
Würde mich sehr freuen!
Viele Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen a,b>0 ist doch $ [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k [/mm] >0$ und damit bist du fertig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 23.11.2010 | | Autor: | Fusel |
Hallo,
vielen Dank schon einmal für deine schnelle Antwort!
Nur leider verstehe ich sie nicht. Weder warum [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k [/mm] gilt noch warum mich diese Aussage weiter bringt.
Kannst du mir das vielleicht etwas genauer erklären?
Danke!
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
sorry, da ist beim copy-paste ein falscher Teil mit reingekommen , das war natürlich unsinn. richtig meinte ich
$ [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l [/mm] >0 $
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 23.11.2010 | | Autor: | Fusel |
Hallo!
Achso, danke, da stimme ich natürlich zu :)
Vielleicht stehe ich ja nur auf dem Schlauch, aber wie folgt daraus denn
$ [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l [/mm] $?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch $ [mm] (a+b)^k \ge a^k [/mm] $ + $ [mm] b^k [/mm] $
nun hast du dachte ich die bin. formel auf [mm] (a+b)^k [/mm] angewendet und rausgekriegt dass [mm] (a+b)^k=a^k+b^k+positive [/mm] Summe ist. damit bist du doch fertig, warum willst du das noch anders umformen?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 23.11.2010 | | Autor: | Fusel |
Oh, da habe ich das wohl was unglücklich aufgeschrieben... Tut mir Leid!
$ [mm] (a+b)^k \ge a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm] $ und $ [mm] (a+b)^\bruch{1}{m} \le a^\bruch{1}{m} +b^\bruch{1}{m}$ [/mm] habe ich schon gezeigt!
Ich möchte jetzt zeigen:
$ [mm] (a+b)^k \le (a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m})^m [/mm] $ für k,m $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit k $ [mm] \le [/mm] $ m
und das ist eben äquivalent zu dem ganzen Brocken den ich oben geschrieben habe.
Dann haben wir leider aneinander vorbeigeredet!
Viele Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 23.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> Ich bräuchte für eine Abschätzung die Ungleichung
> [mm](a+b)^r \le a^r +b^r[/mm] für reelle r [mm]\in[/mm] (0,1], a,b [mm]\in \IR^+.[/mm]
>
> Ich weiß jedoch nicht sicher, ob diese Ungleichung gilt
Schau dir mal die Jensensche Ungleichung an.
Gruß Abakus
> und versuche sie zurzeit zu zeigen. Zuerst möchte ich es
> für rationale r zeigen um dann über den Grenzwert das
> Resultat für reelle r zu erhalten.
>
> Sei also r [mm]\in \IQ[/mm] und [mm]\in[/mm] (0,1]. Dann existieren k,m [mm]\in \IN[/mm]
> mit k [mm]\le[/mm] m: r = k/m.
> Zu zeigen ist also [mm](a+b)^\bruch{k}{m} \le a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m}[/mm]
> bzw. [mm](a+b)^k \le (a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m})^m[/mm]
>
> Ich habe gezeigt, dass gilt:
> [mm](a+b)^\bruch{1}{m} \le a^\bruch{1}{m}[/mm] + [mm]b^\bruch{1}{m}[/mm]
> und
> [mm](a+b)^k \ge a^k[/mm] + [mm]b^k[/mm]
>
> Die Behauptung ist mit dem Binomischen Lehrsatz äquivalent
> zu:
> [mm]a^k[/mm] + [mm]b^k[/mm] + [mm]\summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k[/mm]
> + [mm]b^k[/mm] + [mm]\summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l[/mm]
> [mm]\gdw \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l[/mm]
> [mm]\gdw \summe_{l=1}^{k-1}(\vektor{m \\ l}a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m}-\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l[/mm]
> )+ [mm]\summe_{l=k}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m} \ge[/mm]
> 0
>
> Nur hier weiß ich wirklich nciht wie ich weiter machen
> soll um auf etwas wahres zu kommen.
>
> Hat vielleicht jemand eine Idee?
> Würde mich sehr freuen!
>
> Viele Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 23.11.2010 | | Autor: | Fusel |
Hey! Vielen Dank für diese Idee. Bekomme da leider nur etwas unerwünschtes raus.
Für r [mm] \in [/mm] (0,1] ist f(x) = [mm] x^r [/mm] ja wegen f''(x) = r(r-1)x^(r-2) [mm] \le [/mm] 0 konkav.
Dann gilt nach Jensen Ungleichung für [mm] \lambda_1+ \lambda_2 [/mm] = 1:
[mm] f(\lambda_1x+\lambda_2 [/mm] y) [mm] \ge \lambda_1f(x)+\lambda_2f(y)
[/mm]
Also: [mm] (\lambda_1x+\lambda_2 y)^r \ge \lambda_1x^r+\lambda_2y^r
[/mm]
Habe damit also nur eine Ungleichung "in die andere Richtung", wenn ich mich nicht vertan habe!
Oder sieht da jemand einen Fehler?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast dich vertan. und setz [mm] \lambda=1/2
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 23.11.2010 | | Autor: | Fusel |
Mh, aber wo habe ich mich denn vertan? Wir gehen ja von r [mm] \in [/mm] (0,1] aus. Die zweite Ableitung f''(x) = [mm] r(r-1)x^{(r-2)} [/mm] ist [mm] \le [/mm] 0, da r positiv, [mm] x^{(r-2)} [/mm] positiv und [mm] r\le [/mm] 1 also r-1 [mm] \le [/mm] 0. Somit ist f konkav.
Und für konkave Funktionen lautet die Jensen Ungleichung doch
[mm] f(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i) \geq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).
[/mm]
Also habe ich $ [mm] (\lambda_1x+\lambda_2 y)^r \ge \lambda_1x^r+\lambda_2y^r [/mm] $.
Weiter habe ich dann:
[mm] (x+y)^r [/mm] = [mm] 2^r (\bruch{x}{2}+\bruch{y}{2})^r \ge 2^r(\bruch{1}{2}x^r+\bruch{1}{2}y^r [/mm] )= [mm] 2^{(r-1)}( x^r+y^r [/mm] ) [mm] \ge x^r+y^r
[/mm]
Wo ist das denn falsch?
Danke schonmal!
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
nix ist falsch und ich hab mich vertan.
drum ein besserer (hoffentlich) Vorschlag:
[mm] a^r+b^r\ge (a+b)^r [/mm] mit 0< r <1
dividiere durch [mm] b^r [/mm] und a/b=x
[mm] x^r+1\ge (x+1)^r
[/mm]
oder I) [mm] 1\ge (x+1)^r-x^r
[/mm]
richtig für x=0 da gilt das =
differenziere:
[mm] r*(x+1)^{r-1}-r*x^{r-1} [/mm] <0 ,da r-1 negativ
deshalb bleibt I wahr
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Fusel |
Hallo!
Super! Klingt einleuchtend und ich sehe auch keinen Widerspruch.
Vielen vielen Dank für die ganze nette Hilfe! Sowas kann einem echt den Tag retten. Danke.
Gute Nacht!
|
|
|
|
