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Ungleichung Summe Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Di 23.11.2010
Autor: Fusel

Hallo!

Ich bräuchte für eine Abschätzung die Ungleichung
[mm] (a+b)^r \le a^r +b^r [/mm] für reelle r [mm] \in [/mm] (0,1], a,b [mm] \in \IR^+. [/mm]
Ich weiß jedoch nicht sicher, ob diese Ungleichung gilt und versuche sie zurzeit zu zeigen. Zuerst möchte ich es für rationale r zeigen um dann über den Grenzwert das Resultat für reelle r zu erhalten.

Sei also r [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] \in [/mm] (0,1]. Dann existieren k,m [mm] \in \IN [/mm] mit k [mm] \le [/mm] m: r = k/m.
Zu zeigen ist also [mm] (a+b)^\bruch{k}{m} \le a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m} [/mm] bzw.  [mm] (a+b)^k \le (a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m})^m [/mm]

Ich habe gezeigt, dass gilt:
[mm] (a+b)^\bruch{1}{m} \le a^\bruch{1}{m} [/mm] + [mm] b^\bruch{1}{m} [/mm]
und
[mm] (a+b)^k \ge a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm]

Die Behauptung ist mit dem Binomischen Lehrsatz äquivalent zu:
[mm] a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm] + [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm] + [mm] \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l [/mm]
[mm] \gdw \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l [/mm]
[mm] \gdw \summe_{l=1}^{k-1}(\vektor{m \\ l}a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m}-\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l [/mm] )+ [mm] \summe_{l=k}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m} \ge [/mm] 0

Nur hier weiß ich wirklich nciht wie ich weiter machen soll um auf etwas wahres zu kommen.

Hat vielleicht jemand eine Idee?
Würde mich sehr freuen!

Viele Grüße!

        
Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Di 23.11.2010
Autor: leduart

Hallo
wegen a,b>0 ist doch $ [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k [/mm] >0$ und damit bist du fertig.
Gruss leduart

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Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Di 23.11.2010
Autor: Fusel

Hallo,
vielen Dank schon einmal für deine schnelle Antwort!

Nur leider verstehe ich sie nicht. Weder warum [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k [/mm] gilt noch warum mich diese Aussage weiter bringt.

Kannst du mir das vielleicht etwas genauer erklären?
Danke!

Viele Grüße

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Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Di 23.11.2010
Autor: leduart

hallo
sorry, da ist beim copy-paste ein falscher Teil mit reingekommen , das war natürlich unsinn. richtig meinte ich
$ [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l [/mm]  >0 $
Gruss leduart


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Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Di 23.11.2010
Autor: Fusel

Hallo!

Achso, danke, da stimme ich natürlich zu :)
Vielleicht stehe ich ja nur auf dem Schlauch, aber wie folgt daraus denn
$ [mm] \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l [/mm] $?

Viele Grüße

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Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Di 23.11.2010
Autor: leduart

Hallo
du willst doch $ [mm] (a+b)^k \ge a^k [/mm] $ + $ [mm] b^k [/mm] $
nun hast du dachte ich die bin. formel auf [mm] (a+b)^k [/mm] angewendet und rausgekriegt dass [mm] (a+b)^k=a^k+b^k+positive [/mm] Summe ist. damit bist du doch fertig, warum willst du das noch anders umformen?
Gruss leduart


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Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Di 23.11.2010
Autor: Fusel

Oh, da habe ich das wohl was unglücklich aufgeschrieben... Tut mir Leid!
$ [mm] (a+b)^k \ge a^k [/mm] + [mm] b^k [/mm] $  und $ [mm] (a+b)^\bruch{1}{m} \le a^\bruch{1}{m} +b^\bruch{1}{m}$ [/mm] habe ich schon gezeigt!

Ich möchte jetzt zeigen:
$ [mm] (a+b)^k \le (a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m})^m [/mm] $ für k,m $ [mm] \in \IN [/mm] $ mit k $ [mm] \le [/mm] $ m
und das ist eben äquivalent zu dem ganzen Brocken den ich oben geschrieben habe.

Dann haben wir leider aneinander vorbeigeredet!

Viele Grüße!

Bezug
        
Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Di 23.11.2010
Autor: abakus


> Hallo!
>  
> Ich bräuchte für eine Abschätzung die Ungleichung
>  [mm](a+b)^r \le a^r +b^r[/mm] für reelle r [mm]\in[/mm] (0,1], a,b [mm]\in \IR^+.[/mm]
>  
> Ich weiß jedoch nicht sicher, ob diese Ungleichung gilt

Schau dir mal die Jensensche Ungleichung an.
Gruß Abakus

> und versuche sie zurzeit zu zeigen. Zuerst möchte ich es
> für rationale r zeigen um dann über den Grenzwert das
> Resultat für reelle r zu erhalten.
>  
> Sei also r [mm]\in \IQ[/mm] und [mm]\in[/mm] (0,1]. Dann existieren k,m [mm]\in \IN[/mm]
> mit k [mm]\le[/mm] m: r = k/m.
>  Zu zeigen ist also [mm](a+b)^\bruch{k}{m} \le a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m}[/mm]
> bzw.  [mm](a+b)^k \le (a^\bruch{k}{m} +b^\bruch{k}{m})^m[/mm]
>  
> Ich habe gezeigt, dass gilt:
>  [mm](a+b)^\bruch{1}{m} \le a^\bruch{1}{m}[/mm] + [mm]b^\bruch{1}{m}[/mm]
>  und
>  [mm](a+b)^k \ge a^k[/mm] + [mm]b^k[/mm]
>  
> Die Behauptung ist mit dem Binomischen Lehrsatz äquivalent
> zu:
>  [mm]a^k[/mm] + [mm]b^k[/mm] + [mm]\summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le a^k[/mm]
> + [mm]b^k[/mm] + [mm]\summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l[/mm]
> [mm]\gdw \summe_{l=1}^{k-1}\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l \le \summe_{l=1}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^{\bruch{k}{m}}^{m-l}b^{\bruch{k}{m}}^l[/mm]
> [mm]\gdw \summe_{l=1}^{k-1}(\vektor{m \\ l}a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m}-\vektor{k \\ l}a^{k-l}b^l[/mm]
> )+ [mm]\summe_{l=k}^{m-1}\vektor{m \\ l} a^ka^{\bruch{-kl}{m}}b^\bruch{kl}{m} \ge[/mm]
> 0
>  
> Nur hier weiß ich wirklich nciht wie ich weiter machen
> soll um auf etwas wahres zu kommen.
>  
> Hat vielleicht jemand eine Idee?
>  Würde mich sehr freuen!
>  
> Viele Grüße!


Bezug
                
Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Di 23.11.2010
Autor: Fusel

Hey! Vielen Dank für diese Idee. Bekomme da leider nur etwas unerwünschtes raus.
Für r [mm] \in [/mm] (0,1] ist f(x) = [mm] x^r [/mm] ja wegen f''(x) = r(r-1)x^(r-2) [mm] \le [/mm] 0 konkav.
Dann gilt nach Jensen Ungleichung für [mm] \lambda_1+ \lambda_2 [/mm] = 1:
[mm] f(\lambda_1x+\lambda_2 [/mm] y) [mm] \ge \lambda_1f(x)+\lambda_2f(y) [/mm]
Also: [mm] (\lambda_1x+\lambda_2 y)^r \ge \lambda_1x^r+\lambda_2y^r [/mm]
Habe damit also nur eine Ungleichung "in die andere Richtung", wenn ich mich nicht vertan habe!

Oder sieht da jemand einen Fehler?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Di 23.11.2010
Autor: leduart

Hallo
Du hast dich vertan. und setz [mm] \lambda=1/2 [/mm]
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Di 23.11.2010
Autor: Fusel

Mh, aber wo habe ich mich denn vertan? Wir gehen ja von r [mm] \in [/mm] (0,1] aus. Die zweite Ableitung f''(x) = [mm] r(r-1)x^{(r-2)} [/mm] ist [mm] \le [/mm]  0, da r positiv, [mm] x^{(r-2)} [/mm] positiv und [mm] r\le [/mm] 1 also r-1 [mm] \le [/mm] 0. Somit ist f konkav.
Und für konkave Funktionen lautet die Jensen Ungleichung doch
[mm] f(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i) \geq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i). [/mm]

Also habe ich $ [mm] (\lambda_1x+\lambda_2 y)^r \ge \lambda_1x^r+\lambda_2y^r [/mm] $.
Weiter habe ich dann:
[mm] (x+y)^r [/mm] = [mm] 2^r (\bruch{x}{2}+\bruch{y}{2})^r \ge 2^r(\bruch{1}{2}x^r+\bruch{1}{2}y^r [/mm] )= [mm] 2^{(r-1)}( x^r+y^r [/mm] )  [mm] \ge x^r+y^r [/mm]

Wo ist das denn falsch?
Danke schonmal!
Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Di 23.11.2010
Autor: leduart

hallo
nix ist falsch und ich hab mich vertan.
drum ein besserer (hoffentlich) Vorschlag:
[mm] a^r+b^r\ge (a+b)^r [/mm] mit 0< r <1
dividiere durch [mm] b^r [/mm] und a/b=x
[mm] x^r+1\ge (x+1)^r [/mm]
oder I) [mm] 1\ge (x+1)^r-x^r [/mm]
richtig für x=0 da gilt das =
differenziere:
[mm] r*(x+1)^{r-1}-r*x^{r-1} [/mm] <0  ,da r-1 negativ
deshalb bleibt I wahr
Gruss leduart



Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung Summe Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 Mi 24.11.2010
Autor: Fusel

Hallo!
Super! Klingt einleuchtend und ich sehe auch keinen Widerspruch.
Vielen vielen Dank für die ganze nette Hilfe! Sowas kann einem echt den Tag retten. Danke.

Gute Nacht!



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