Ungleichung Betrag Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich würd eventuell versuchen mit der Dreiecksungleichung ranzugehen (also ein komplett anderer Ansatz).
Aber das ist nur eine einfache undurchdachte Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mo 07.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> für [mm]f:[0,1]\to\IC[/mm] definiert man
> [mm]\int_0^1f(z)dz=\int_0^1\Re{z}dz+i\int_0^1\Im{z}dz[/mm]
> Zu zeigen:
> [mm]\left|\int_0^1f(z)dz\right|\leq\int_0^1\left| f(z)\right| dz[/mm]
>
> Hinweis: Setzen Sie [mm]w:=\int_0^1f(z)dz[/mm] und betrachten Sie
> [mm]\int_0^1\overline{w}f(z)dz[/mm]
> ([mm]\overline{w}[/mm] die komplex Konjugierte von [mm]w[/mm])
> Hallo!
> Ich komme bei obiger Aufgabe nicht voran, wär super, wenn
> mir jemand weiterhelfen könnte
> Dass die Ungleichung stimmen muss (sowohl im reellen als
> auch komplexen) leuchtet mir ein - nur bekomm ich keinen
> wirklichen Ansatz.. der Tipp sagt mir zwar was, aber ich
> verstehe ihn nicht soweit, dass er mir etwas bringt: wenn
> ich doch w als Integral setze, dann doch quasi als Zahl,
> sodass es beim berechnen von [mm]\int_0^1\overline{w}f(z)dz[/mm] das
> [mm]\overline{w}[/mm] nicht mehr von z abhängt...
Korrekt. Daher dieser Tipp: du kannst das [mm]\overline{w}[/mm] aus dem Integral herausziehen:
[mm] \int_0^1\overline{w}f(z)dz = \overline{w} \int_0^1f(z)dz = \overline{w} * w =|w|^2[/mm],
was offensichtlich reell und außerdem das Quadrat der linken Seite deiner gesuchten Ungleichung ist.
Für die rechte Seite solltest du den Ausdruck als Doppelintegral schreiben.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 08.04.2008 | | Autor: | verkackt |
Hallo Rainer,
Erstmal danke für deine Antwort.Aber ich komm irgenwie damit nicht zurecht.Wieso hast du [mm] \overline{w} [/mm] rausgezogen. [mm] \overline{w} [/mm] hängt doch auch von z ab, also ist für das Integral keine Konstante.
[mm] \overline{w} =\integral_{0}^{1}{Re f(z) dz} [/mm] -i [mm] \integral_{0}^{1}{Im f(z)dz }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bestimmtes Integral ergibt immer eine Zahl, hängt also nicht von der Integrationsvariablen, die du ja auch y nennen könntest ab.
Gruss leduart
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