Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien $a [mm] \in \IR, [/mm] b [mm] \in \IR\backslash\{0\}$ [/mm] und $x,y [mm] \in [/mm] (a,b)$. Zeigen Sie: $|x-y| < b-a$ |
Hallo zusammen,
sitze gerade vor jener Ungleichung und weiß nicht so recht wie ich diese beweisen soll. Klar ist $a < x < b$ und $a < y < b$, somit muss $a < b$ gelten, da diese Aufgabe sonst witzlos wäre. Wie sollte ich jetzt am einfachsten fortfahren.
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]a \in \IR, b \in \IR\backslash\{0\}[/mm] und [mm]x,y \in (a,b)[/mm].
> Zeigen Sie: [mm]|x-y| < b-a[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> sitze gerade vor jener Ungleichung und weiß nicht so recht
> wie ich diese beweisen soll. Klar ist [mm]a < x < b[/mm] und [mm]a < y < b[/mm],
ja, insbesondere sollte bei der Aufgabe $a < [mm] b\,$ [/mm] sein. Ich frage mich zudem,
warum da $b [mm] \not=0$ [/mm] gefordert wird.
Du hast
(I) $a < x < b$
und
(II) $a < y < [mm] b\,.$
[/mm]
Die erste Ungleichung (I) ist äquivalent zu
$-b < -x < [mm] -a\,.$
[/mm]
Addiere das mal zu (II), dann hast Du insbesondere
$y-x < [mm] b-a\,.$
[/mm]
Ist Dir klar, dass Du nun nur noch beweisen musst, dass auch
$x-y < b-a$
gilt?
Und hast Du eine Idee, wie das gehen könnte?
(Hinweis: Für $r [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ kann man (leicht) beweisen:
$|r| < [mm] \epsilon$ $\iff$ $-\epsilon [/mm] < r < [mm] \epsilon\,,$
[/mm]
wobei die rechte Seite ja nichts anderes besagt, als dass
[mm] $-\epsilon [/mm] < r$ und $r < [mm] \epsilon$
[/mm]
simultan gilt. Und wenn man jetzt
[mm] $-\epsilon [/mm] < r$ [mm] $\iff$ [/mm] $-r < [mm] \epsilon$
[/mm]
benutzt...
Und jetzt denke mal nach, wer in Deiner Aufgabe die Rolle von [mm] $r\,$ [/mm] und
wer die Rolle von [mm] $\epsilon$ [/mm] spielt...)
P.S. Hast Du Dir die Aufgabe mal geometrisch (Zahlenstrahl) klargemacht?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke dir wieder für eine gute Antwort :)
>
> ja, insbesondere sollte bei der Aufgabe [mm]a < b\,[/mm] sein. Ich
> frage mich zudem,
> warum da [mm]b \not=0[/mm] gefordert wird.
>
Das habe ich mich auch gefragt, da ja im Grunde nirgends geteilt wird, aber in einer anderen Teilaufgabe wird eine Bruchungleichung beweisen und da wurde anscheinend auf eine weitere Einschränkung der Variablen verzichtet.
> Du hast
>
> (I) [mm]a < x < b[/mm]
>
> und
>
> (II) [mm]a < y < b\,.[/mm]
>
> Die erste Ungleichung (I) ist äquivalent zu
>
> [mm]-b < -x < -a\,.[/mm]
>
> Addiere das mal zu (II), dann hast Du insbesondere
>
> [mm]y-x < b-a\,.[/mm]
>
> Ist Dir klar, dass Du nun nur noch beweisen musst, dass
> auch
>
> [mm]x-y < b-a[/mm]
>
> gilt?
>
Ja das haben wir auch ähnlich bei der Dreiecksungleichung gemacht, liegt einfach an der Betragsrechnung. In Prosa: man nimmt die Aussage, dass das größere - das kleinere Element die Gleichung erfüllt und das unterstützt ja der Betrag für alle reellen Zahlen.
> Und hast Du eine Idee, wie das gehen könnte?
>
Mal eine Frage du hast im Grunde -I+II gerechnet. Dürfte man dies einfach mit -II+I vergleichen? Dann hätte man aufgrund beider Ungleichung die "Erlaubnis" die Betragsstriche zu nehmen.
> (Hinweis: Für [mm]r \in \IR[/mm] und [mm]\epsilon > 0[/mm] kann man (leicht)
> beweisen:
>
> [mm]|r| < \epsilon[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]-\epsilon < r < \epsilon\,,[/mm]
>
> wobei die rechte Seite ja nichts anderes besagt, als dass
>
> [mm]-\epsilon < r[/mm] und [mm]r < \epsilon[/mm]
>
> simultan gilt. Und wenn man jetzt
>
> [mm]-\epsilon < r[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]-r < \epsilon[/mm]
>
> benutzt...
>
> Und jetzt denke mal nach, wer in Deiner Aufgabe die Rolle
> von [mm]r\,[/mm] und
> wer die Rolle von [mm]\epsilon[/mm] spielt...)
[mm] $\varepsilon$ [/mm] ist $b-a$ und $r$ ist $x-y$ :)
>
> P.S. Hast Du Dir die Aufgabe mal geometrisch (Zahlenstrahl)
> klargemacht?
>
Habe mir eine kleine Skizze gezeichnet und ein Beispiel konstruiert um ein Gefühl zu kriegen.
> Gruß,
> Marcel
Grüße
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> danke dir wieder für eine gute Antwort :)
>
> >
> > ja, insbesondere sollte bei der Aufgabe [mm]a < b\,[/mm] sein. Ich
> > frage mich zudem,
> > warum da [mm]b \not=0[/mm] gefordert wird.
> >
>
> Das habe ich mich auch gefragt, da ja im Grunde nirgends
> geteilt wird, aber in einer anderen Teilaufgabe wird eine
> Bruchungleichung beweisen und da wurde anscheinend auf eine
> weitere Einschränkung der Variablen verzichtet.
>
> > Du hast
> >
> > (I) [mm]a < x < b[/mm]
> >
> > und
> >
> > (II) [mm]a < y < b\,.[/mm]
> >
> > Die erste Ungleichung (I) ist äquivalent zu
> >
> > [mm]-b < -x < -a\,.[/mm]
> >
> > Addiere das mal zu (II), dann hast Du insbesondere
> >
> > [mm]y-x < b-a\,.[/mm]
> >
> > Ist Dir klar, dass Du nun nur noch beweisen musst, dass
> > auch
> >
> > [mm]x-y < b-a[/mm]
> >
> > gilt?
> >
>
> Ja das haben wir auch ähnlich bei der Dreiecksungleichung
> gemacht, liegt einfach an der Betragsrechnung. In Prosa:
> man nimmt die Aussage, dass das größere - das kleinere
> Element die Gleichung erfüllt und das unterstützt ja der
> Betrag für alle reellen Zahlen.
>
> > Und hast Du eine Idee, wie das gehen könnte?
> >
>
> Mal eine Frage du hast im Grunde -I+II gerechnet.
genau - aber wichtig ist dabei halt, dass man beachtet, was mit einer
Ungleichung(skette) passiert, wenn man sie [mm] $*(-1)\,$ [/mm] nimmt.
> Dürfte
> man dies einfach mit -II+I vergleichen?
Natürlich - darauf wollte ich hinaus. 
> Dann hätte man
> aufgrund beider Ungleichung die "Erlaubnis" die
> Betragsstriche zu nehmen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > (Hinweis: Für [mm]r \in \IR[/mm] und [mm]\epsilon > 0[/mm] kann man (leicht)
> > beweisen:
> >
> > [mm]|r| < \epsilon[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]-\epsilon < r < \epsilon\,,[/mm]
> >
> > wobei die rechte Seite ja nichts anderes besagt, als dass
> >
> > [mm]-\epsilon < r[/mm] und [mm]r < \epsilon[/mm]
> >
> > simultan gilt. Und wenn man jetzt
> >
> > [mm]-\epsilon < r[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]-r < \epsilon[/mm]
> >
> > benutzt...
> >
> > Und jetzt denke mal nach, wer in Deiner Aufgabe die Rolle
> > von [mm]r\,[/mm] und
> > wer die Rolle von [mm]\epsilon[/mm] spielt...)
>
> [mm]\varepsilon[/mm] ist [mm]b-a[/mm] und [mm]r[/mm] ist [mm]x-y[/mm] :)
> >
> > P.S. Hast Du Dir die Aufgabe mal geometrisch (Zahlenstrahl)
> > klargemacht?
> >
>
> Habe mir eine kleine Skizze gezeichnet und ein Beispiel
> konstruiert um ein Gefühl zu kriegen.
Und? Die obige Aussage ist geometrisch ziemlich trivial, oder? 
(Wenn ich eine (Ausgangs-)Strecke habe, mir zwei Punkte echt innerhalb
der Strecke nehme, die eine andere Strecke dann "begrenzen" - ich nenne
diese Strecke einfach mal "innere Strecke", dann ist die Länge der inneren
Strecke sicher immer echt kleiner der Länge der Ausgangsstrecke.)
P.S. Man kann die Aufgabe übrigens auch anders lösen:
Es gilt (für $a < [mm] b\,$)
[/mm]
[mm] $(a,b)\,=\{r \in \IR: \exists \lambda \text{ mit }0 < \lambda < 1:\;\; r=a+\lambda*(b-a)\}\,,$
[/mm]
was man zuerst beweist. (Mengengleichheit beweisen!)
(Ist Dir der geometrische Grundgedanke hier klar? Sowas kennt man
eigentlich meist aus "Lineare Algebra und analytische Geometrie", aber
eigentlich muss man hier nur wissen, wie man eine Mengengleichheit
beweist, ohne wirklich geometrisches Wissen zu haben, wenn man das
verwenden will...)
Seien nun $x,y [mm] \in (a,b)\,.$ [/mm] Ohne Einschränkung kann man direkt $x < [mm] y\,$ [/mm] annehmen
(der Fall [mm] $x=y\,$ [/mm] ist nämlich "langweilig" und für $x > [mm] y\,$ [/mm] vertausche man $x [mm] \leftrightarrow y\,.$)
Dann gibt nach obiger Vorüberlegung $\lambda, \mu \in (0,1)$ mit
$x=a+\lambda*(b-a)$
und
$y=a+\mu*(b-a)\,,$
wobei wegen $x < y\,$ dann $0 < \lambda < \mu < 1$ sein muss.
Dann folgt
$|x-y|=y-x=(a+\mu(b-a))-(a+\lambda(b-a))=(\mu-\lambda)*(b-a)\,.$
Was fehlt nun noch? Einfach eine Begründung, warum
($0 < \,$) $\mu - \lambda < 1$
gelten muss. (Was nicht schwer ist: $\mu < 1$ und $\lambda > 0$ liefern $\mu-\lambda < \mu < 1$ und
damit $\mu-\lambda < 1$ - und $0 < \mu-\lambda$ ist klar!)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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