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| Aufgabe | Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass für x>=0 gilt:
sqrt(1+x)<=1+x/2 |
Wozu brauche ich dazu den MWS ?
Man kann doch beide Seite quadrieren, binomische Formel anwenden und kommt auf 0<= [mm] 0,25x^2, [/mm] somit auf eine wahre Aussage.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 21.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass für x>=0 gilt:
> sqrt(1+x)<=1+x/2
> Wozu brauche ich dazu den MWS ?
Hallo,
sicher kann man die Gültigkeit der Ungleichung auch anders beweisen.
Zweck der Übung ist allerdings, dass deine Lehrkraft will, dass du den MWS auch in solchen Situationen sinnvoll anwenden kannst.
Zweitens:
Wenn man von einer zu beweisenden Aussage ausgeht, einige Umformungen anstellt und dann auf etwas Wahres kommt...
... hat man GAR NICHTS bewiesen. Beweise beginnen mit einer gültigen Voraussetzung und NICHT mit einer noch unbewiesenen Behauptung.
Etwas anderes wäre es noch, wenn sämtliche Umformungsschritte in der "genau-dann-wenn"- Form aufgeschrieben wären; das ist allerdings in deinem Weg unmöglich, da du Umformungen verwendest, die KEINE Äquivalenzumformung sind.
Auf deinem Weg könntest du sogar "beweisen", dass -3>2 gilt.
Aus -3>2 "folgt" durch Quadrieren die wahre Aussage 9>4, trotzdem gilt nicht -3>2.
Gruß Abakus
> Man kann doch beide Seite quadrieren, binomische Formel
> anwenden und kommt auf 0<= [mm]0,25x^2,[/mm] somit auf eine wahre
> Aussage.
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Ok, allerdings ist die Antwort jetzt bezogen auf den Mittelwertsatz nicht besonders hilfreich :-(
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Hallo photonendusche,
da [mm]x\ge 0[/mm] ist, ist dein Weg mit dem Quadrieren völlig in Ordnung.
ABER in der Aufgabenstellung steht explizit, dass du den MWS benutzen sollst.
Betrachte die stetige Funktion [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] auf dem Intervall [mm]I=[1,1+x][/mm] für $x>0$
(Für $x=0$ ist die Ausgangsaussage trivialerweise erfüllt)
Dann ex. nach dem MWS ein [mm]x_0\in(1,1+x)[/mm] mit [mm]\frac{f(1+x)-f(1)}{1+x-1}=f'(x_0)}[/mm]
Also ...
Gruß
schachuzipus
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Danke 
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