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| Aufgabe | Sei $r>1$. Zeigen Sie, dass konstante $C>0$ existiert so dass für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
[mm] $(1+x^2)^{\frac{r-2}{2}} \le C(1+x)^{r-2}$ [/mm] |
Bin bei dieser Ungleichung stecken geblieben. Kann mir bitte jemand helfen? Tipp oder so... Danke
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Hallo strangelet,
nette Aufgabe. Da muss man ständig wg. des Relationszeichens aufpassen.
> Sei [mm]r>1[/mm]. Zeigen Sie, dass konstante [mm]C>0[/mm] existiert so dass
> für alle [mm]x \ge 0[/mm] gilt:
> [mm](1+x^2)^{\frac{r-2}{2}} \le C(1+x)^{r-2}[/mm]
Schau doch mal nach, ob unter den gegebenen Bedingungen die folgende Darstellung äquivalent zu der zu zeigenden Ungleichung ist:
[mm] \left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{r-2}\le C^2
[/mm]
> Bin bei dieser
> Ungleichung stecken geblieben. Kann mir bitte jemand
> helfen? Tipp oder so... Danke
Von hier aus ist es nicht mehr weit.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
DANKE!!! :)
dass man es so umschreiben kann, ist mir einfach nicht eingefallen :)
Äquivalent ist es und man muss also nur noch zeigen, dass
$ [mm] \bruch{1+x^2}{(1+x)^2}$ [/mm] beschränkt ist, aber es gilt
[mm] $(1+x)^2 \leq 1^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = 1 + [mm] x^2 \leq 1+(1+x)^2$ [/mm] wenn [mm] $x\ge0$
[/mm]
und damit
$ [mm] 1\leq \bruch{1+x^2}{(1+x)^2} \leq \bruch{1}{(1+x)^2}+1 \leq [/mm] 2$
Hoffentlich richtig :]
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Hallo nochmal,
na, noch nicht ganz.
> dass man es so umschreiben kann, ist mir einfach nicht
> eingefallen :)
> Äquivalent ist es
Ja. Alle Terme sind positiv. Also ändert weder die Division noch das Quadrieren etwas an der Richtung der Relation.
> und man muss also nur noch zeigen, dass
>
> [mm]\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}[/mm] beschränkt ist,
Für [mm] r\ge{2} [/mm] genügt das in der Tat. Für 1<r<2, was ja auch zugelassen ist, genügt das nicht automatisch. Denk mal drüber nach. Ansonsten: siehe unten.
> aber es gilt
>
> [mm](1+x)^2 \red{\leq} 1^2 + x^2 = 1 + x^2 \leq 1+(1+x)^2[/mm] wenn [mm]x\ge0[/mm]
Die erste Relation stimmt definitiv nicht. Es ist für [mm] x\ge0
[/mm]
[mm] 0<1+x^2\le 1+2x+x^2=(1+x)^2
[/mm]
> und damit
>
> [mm]1\leq \bruch{1+x^2}{(1+x)^2} \leq \bruch{1}{(1+x)^2}+1 \leq 2[/mm]
>
> Hoffentlich richtig :]
Nein, das stimmt dann auch nicht. Es gilt
[mm] 0<\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\le{1}
[/mm]
Außerdem ist [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=0
[/mm]
Jetzt betrachte mal die zu zeigende Relation für 1<r<2.
(Mit anderen Worten: die ursprüngliche Behauptung ist falsch, lässt sich aber retten, wenn man r weiter einschränkt.)
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
ups, sorry. Ich sollte besser aufpassen, bevor ich was schreibe..danke für deine Geduld.
Also, die Ungleichung stimmt dann für 1<r<2 wohl nicht.
weil
[mm]\lim_{x\to\infty} \left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{r-2} =
\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{2-r}} = \infty[/mm]
und die linke Seite ist somit nicht beschränkt von einer Konstante.
Wenn das so ist, dann ist es aber unschön.
Wollte damit zeigen, dass
$|S(D)| [mm] \leq [/mm] C (1 + [mm] |D|)^{r-1}$ [/mm]
wo
$S(D) = [mm] \big(1 [/mm] + [mm] |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D$
[/mm]
und S, D matrizen sind, für alle r>1 gilt, was angeblich gelten sollte.
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Hallo strangelet,
oh, das ist wohl etwas anderes.
> Also, die Ungleichung stimmt dann für 1<r<2 wohl nicht, weil
>
> [mm]\lim_{x\to\infty} \left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{r-2} = \lim_{x\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}\right)^{2-r}} = \infty[/mm]
>
> und die linke Seite ist somit nicht beschränkt von einer
> Konstante.
Korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn das so ist, dann ist es aber unschön.
>
> Wollte damit zeigen, dass
>
> [mm]|S(D)| \leq C (1 + |D|)^{r-1}[/mm]
Stimmt hier der Exponent r-1 ?
> wo
>
> [mm]S(D) = \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D[/mm]
>
> und S, D matrizen sind, für alle r>1 gilt, was angeblich
> gelten sollte.
Rechne doch $ |S(D)| $ nochmal nach. 
Grüße
reverend
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Hallo :)
na ja, also $|S(D)|$ ist dann
$ |S(D)| = [mm] \left| \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D \right| [/mm] = [mm] \big(1 [/mm] + [mm] |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}|D| [/mm] $ oder? :]
Ich habe jetzt noch darüber nachgedacht und alles nochmal durchgegangen und habe festgestellt, dass
$ [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1 [/mm] $ ist und nicht 0.
[mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{1+2x+x^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{\bruch{1}{x^2}+1}{\bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+1 }{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{1}{1} [/mm]
und auch
$ [mm] \lim_{x\to 0+}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1 [/mm] $
Die Funktion hat ein Minimum 1/2 für x=1 und damit gilt dann die ursprüngliche Ungleichung wohl auch für 1<r<2.
Ich hoffe, dass ich jetzt nichts übersehen habe.
strangelet
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 06.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo :)
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> na ja, also [mm]|S(D)|[/mm] ist dann
>
> [mm]|S(D)| = \left| \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}D \right| = \big(1 + |D|^2\big)^{\frac{r-2}{2}}|D|[/mm]
> oder? :]
>
> Ich habe jetzt noch darüber nachgedacht und alles nochmal
> durchgegangen und habe festgestellt, dass
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1[/mm] ist und nicht 0.
>
>
> [mm]\lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{1+x^2}{1+2x+x^2}= \lim_{x\to\infty}\bruch{\bruch{1}{x^2}+1}{\bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+1 }{\lim_{x\to\infty} \bruch{1}{x^2}+\bruch{2}{x}+1} = \bruch{1}{1}[/mm]
>
> und auch
>
> [mm]\lim_{x\to 0+}\bruch{1+x^2}{(1+x)^2}=1[/mm]
>
> Die Funktion hat ein Minimum 1/2 für x=1 und damit gilt
> dann die ursprüngliche Ungleichung wohl auch für 1<r<2.
>
> Ich hoffe, dass ich jetzt nichts übersehen habe.
Hast Du nicht.
Es geht aber einfacher:
Setze $f(x):= [mm] (\bruch{1+x^2}{(1+x)^2})^{r-2}$
[/mm]
Dann haben wir: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=1. [/mm] Somit gibt es ein [mm] x_0>0 [/mm] mit
[mm] f(x)\le [/mm] 2 für [mm] x>x_0
[/mm]
Im kompakten Intervall [mm] [0,x_0] [/mm] ist die stetige Funktion f beschränkt, es gibt also ein M [mm] \ge [/mm] 0 mit
f(x) [mm] \le [/mm] M für x [mm] \in [0,x_0]
[/mm]
Setze nun $c:= [mm] max\{2,M\}$ [/mm] und [mm] C:=\wurzel{c}
[/mm]
Dann leistet C das Gewünschte.
FRED
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> strangelet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Fr 06.05.2011 | | Autor: | strangelet |
Hallo Fred,
danke für die Antwort. Bin froh, dass die Ungleichung jetzt doch gilt :)
strangelet
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