Ungleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 So 21.11.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | versuche gerade einen beweis zu verstehen, in dem folgende ungleichung vorkommt über die ich schon seit ner ewigkeit grübel aber einfach nicht weiterkomm:
für $|z|<R$ und [mm] $|w|\ge2R$ [/mm] gilt:
[mm] \bruch{|z||2w-z|}{|w|^2|z-w|^2}\le\bruch{R3|w|}{|w|^2\bruch{|w|^2}{4}} [/mm] |
wär nett wenn mir das jemand erklären könnte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo clee,
> versuche gerade einen beweis zu verstehen, in dem folgende
> ungleichung vorkommt über die ich schon seit ner ewigkeit
> grübel aber einfach nicht weiterkomm:
>
> für [mm]|z|
>
> [mm]\bruch{|z||2w-z|}{|w|^2|z-w|^2}\le\bruch{R3|w|}{|w|^2\bruch{|w|^2}{4}}[/mm]
> wär nett wenn mir das jemand erklären könnte
Heißt das wirklich $R*3*|w|$ im Zähler des rechten Bruchs und nicht [mm] $R^3*|w|$?
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo clee,
> versuche gerade einen beweis zu verstehen, in dem folgende
> ungleichung vorkommt über die ich schon seit ner ewigkeit
> grübel aber einfach nicht weiterkomm:
>
> für [mm]|z|
>
> [mm]\bruch{|z||2w-z|}{|w|^2|z-w|^2}\le\bruch{R3|w|}{|w|^2\bruch{|w|^2}{4}}[/mm]
Das steht dort so, dass man die einzelnen Abschätzungen noch erkennen kann:
[mm]\bruch{\red{|z|}|2w-z|}{|w|^2\blue{|z-w|^2}}\le\bruch{\red{R}3|w|}{|w|^2\blue{\bruch{|w|^2}{4}}}[/mm]
also:
(i) [mm] $\red{|z|}<\red{R}$ [/mm] (klar)
(ii) $|2w-z|<3|w|$
(iii) [mm] \blue{|z-w|^2}\ge \blue{\bruch{|w|^2}{4}}$
[/mm]
Die zweite Ungleichung ist auch klar: [mm] |2w-z|\le 2|w|+|z|\le [/mm] 2|w|+|w|=3|w|$, da [mm] $|z|\le [/mm] |w|$.
Die letzte Ungleichung ist mir gerade nicht klar, aber ich habe gerade keine Zeit mehr. Ich hoffe, es hilft dir trotzdem weiter.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 So 21.11.2010 | | Autor: | moudi |
Zur Punkt (iii) von Marc.
Zeichne die Punkte $A=z,B=w,C=w/2$ in der komplexen Zahlenebene ein. Weil [mm] $|w|/2\geq [/mm] R$ ist, und [mm] $|z|\leq [/mm] R$ ist der Winkel [mm] $\gamma=\spericalangle ACB\geq 90^\circ$, [/mm] (sofern die Punkte nicht auf einer Gerade liegen. Die Ungleichung behaupten dann einfach, dass die Seite $AB=|z-w|$ groesser ist, als die Seite $BC=|w|/2$, was klar ist, wenn [mm] $\gamma$ [/mm] groesser als [mm] $90^\circ$ [/mm] ist (in einem Dreieck liegt die groesste Seite dem groessten Winkel gegenueber.
Die Aussage gilt auch, wenn das Dreieck "entartet" ist, [mm] ($\gamma=180^\circ$). [/mm] Es gilt Gleichheit, wenn $B=C$ ist.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
ergänzend zu moudi eine direkte Abschätzung:
Es gilt doch [mm] $|z-w|\ge |w|-|z|\ge [/mm] 2R-R=R$, also [mm] $R\le [/mm] |z-w|$
Damit gilt auch [mm] $|z|\le R\le [/mm] |z-w|$ und letztlich
[mm] $|w|=|w-z+z|\le |w-z|+|z|\le [/mm] |w-z|+|z-w|=2|z-w|$,
also
[mm] $|w|\le [/mm] 2|z-w|$
[mm] $\Rightarrow$ $|w|^2\le 4|z-w|^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\frac{|w|^2}4\le |z-w|^2$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 21.11.2010 | | Autor: | clee |
dankeschön, habs verstanden 
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